Vertedores

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ANÁLISE NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS EM COMPORTAS DE FUNDO E
VERTEDORES PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
Carlos Eduardo Ferraz de Mello
Setembro/2003
Orientadores: José Paulo Soares de Azevedo
Flávio Cesar Borba Mascarenhas
Programa: Engenharia Civil
O estudo de escoamentos com superfície livre, sujeitos à ação da gravidade,
apresenta dificuldades como a não linearidade da condição decontorno dinâmica na
superfície livre, e também o fato da localização desta superfície não ser conhecida a
priori. A aplicação do método dos elementos de contorno (MEC) na análise deste
fenômeno tem recebido especial atenção dos pesquisadores, devido a algumas
vantagens em relação aos demais métodos clássicos. Este trabalho apresenta uma
análise numérica de escoamentos em comportas de fundo evertedores pelo MEC com
elementos lineares e quadráticos descontínuos. O procedimento de solução envolve um
processo iterativo na determinação da superfície livre. São adotadas técnicas de
iterações diferentes para cada tipo de problema, bem como o uso de parâmetros
empíricos para acelerar a convergência. Alguns exemplos de comportas e vertedores são
apresentados. Os resultados obtidos sãocomparados com os de outros estudos
numéricos, analíticos e com dados experimentais e comprovam a eficiência e boa
precisão do método adotado. Algumas alternativas são propostas visando aprimorar
ainda mais a metodologia e os procedimentos de solução apresentados.


5 – VERTEDORES
Este capítulo trata do escoamento em vertedores, resumindo o equacionamento
básico, detalhando os procedimentos decálculo, apresentando e discutindo os resultados
de alguns exemplos representativos, e descrevendo resumidamente uma proposta de
melhoria da metodologia empregada.
5.1 - EQUACIONAMENTO BÁSICO
A equação diferencial governante é a de Laplace e deseja-se determinar a
distribuição da função corrente ψ em um domínio Ω:

[pic]

onde ∇2 é o operador Laplaciano e x = (x,y) é um ponto genérico dodomínio. Tanto os
contornos fixos como a SL são linhas de corrente, portanto o valor de ψ deve ser
constante, isto é:
0 ’ ψ , no contorno inferior e no vertedor (5.2)
Q ’ ψ , na SL (5.3)
sendo Q a vazão por unidade de largura (vazão específica). Na SL também vale a
condição de contorno dinâmica (teorema de Bernoulli) dada pela expressão:
[pic]

onde ν é a velocidade; g é a aceleração dagravidade; y é a elevação da SL medida a
partir de um plano horizontal de referência arbitrado; B é a constante de Bernoulli
(Figura 5.1); e p é a pressão.


[pic]
Figura 5.1 - Esquema geral do vertedor
A partir da definição de função corrente, temos a seguinte relação na SL:
[pic]
sendo n o vetor unitário na direção normal à SL. Substituindo a Eq. (5.5) na Eq. (5.4)
temos:
[pic]
quepode ser escrita também por:
[pic]

Qualquer uma das duas variáveis Q, vazão específica, ou B, constante de
Bernoulli, deve ser conhecida, sendo a outra obtida como parte da solução do problema.
Com a finalidade de se limitar um domínio para a solução numérica, é feito um
corte, a uma certa distância à montante e jusante da crista do vertedor, por superfícies
perpendiculares à direçãoprincipal do escoamento (ver Fig. 5.1). Nas seções de
truncamento a seguinte condição de contorno é aplicada:
[pic]
que significa que não há velocidade normal ao escoamento principal. Esta condição,
apesar de aproximada, é aplicada suficientemente longe da crista do vertedor de modo a
torná-la bastante precisa e qualquer pequeno erro que advenha desta condição não afeta
a parte de interesse doescoamento (CHENG et al., 1981).
5.2 - PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO
A solução de escoamentos sobre vertedores (ver Fig. 5.1) é mais comum para o
caso em que se conhece a vazão em trânsito e se quer determinar o perfil da lâmina
vertente.
A Figura 5.2 ilustra as condições de contorno no domínio do problema.

[pic]
Como indicado na Figura 5.1, existe uma “zona de incerteza” (CHENG et al.,
1981)...
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