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5 - DERIVADAS


Neste ensinaremos como se derivar uma função com a calculadora e trabalhar com essa função obtida; como plotar o gráfico de uma função e obter a derivada; como trabalhar com estes gráficos.
Vamos agora a definição de derivada .

Definição de Derivada

A derivada da função f é a função f’ definida por
[pic] ( I )
paratodo x para o qual o limite exista.


5.1 - TAXAS DE VARIAÇÃO
Falamos anteriormente que a derivada de uma função é o coeficiente angular da reta que tangencie esta função em um dado ponto. Mas será que é só isso? Não! Uma outra função interpretação muito importante das derivadas é a taxa de variação da função relacionada à variável independente.
Exemplifiquemos: Seja Q uma funçãoque varie com o tempo, ou seja, a variável independente desta função é o tempo. Portanto Q = f(t).
Se diferenciarmos Q em relação a t obteremos a taxa instantânea de variação da função com relação ao tempo.
Vários são os casos, como Edwards & Penney ilustram em seu livro, onde podemos aplicar as taxas de variação:
- Velocidade instantânea de um corpo, no qual o movimento variade acordo com o tempo.
- Número de habitantes de uma cidade, os quais crescem regidos em função do tempo.
- A quantidade de água em um reservatório com entrada e vazão variáveis.
- O número de reais em uma conta bancária.
Enfim, infinitas são as aplicações das taxas de variação.


5.2 - DERIVANDO COM A CALCULADORA
5.2.1 – Utilizando o menu symbolic
Vamosagora ensinar como derivar com a calculadora.
A opção para se diferenciar uma função está no menu “Symbolic” ( [⎤] [9]).




Ao selecionarmos esta opção aparecerá um quadro com outras opções; selecionaremos a opção “Differentiate” .


Selecionando esta opção poderemos diferenciar as equações; coloque a barra na linha “Differentiate” e aperte [OK].


Aparecerá umaoutra tela.
Repare que as opções para as teclas brancas são quase sempre as mesmas.
Neste menu de diferenciação aparecem três campos:
EXPR: que é o campo onde entraremos com a expressão a ser derivada.
VAR: no qual determinaremos a variável na qual a função será derivada.
RESULT: no qual aparecerão duas opções: “Symbolic” e “Numeric”. A opção “Symbolic” dará oresultado da expressão de uma forma simbólica, ou seja, a função derivada com as variáveis; já a opção “Numeric” dará a resposta de uma forma numérica. Se selecionarmos a opção “Numeric” aparecerá mais um campo, onde entraremos com o valor de x para o qual queremos determinar a derivada.
Será mais interessante trabalharmos com a opção “Symbolic”.
Repare que as opções dos outros menusque já trabalhamos, são bem parecidas com a deste menu de diferenciação. Mas aparece aqui uma opção que não tinha aparecido em nenhum outro, a opção [STEP]. Esta opção indicará os “passos” para você diferenciar uma função. Vamos dar um exemplo simples, para que seja bem clara a visualização:
Vamos diferenciar a função x2
Expr: X^2
Var: X
Result: Symbolic
Ficaremoscom a tela:
Repare na opção [STEP].




Ficamos com a tela ao lado.
Que resposta é esta? Bom, ela está mostrando quais são os passos para se derivar a função x2.
Pela regra da potência generalizada, tomemos f(x)=x e r = 2. Teremos então:
[pic]
Repare que foi a mesma coisa que a calculadora escreveu. A única diferença é a nomenclatura que a calculadorautiliza. O nosso [pic]é o “dX(X)” dela.
Vamos, agora, obter a derivada da função anterior ( x2 ).
Dentro do menu “Differentiate”.
Entremos com os dados:
EXPR: X^2
VAR: X
RESULT: Symbolic
E basta selecionar a opção [OK] para que a calculadora derive a função x2


A derivada da função aparecerá no nível 1. Podemos salvar essa equação em uma...
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