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RESOLUÇÃO COMENTADA DA PROVA DA UFPR 2015 2ª FASE
DATA DA REALIZAÇÃO : 01 DE DEZEMBRO DE 2014
MATÉRIA : MATEMÁTICA

PROFESSOR : PROENÇA

QUESTÃO 01

RESOLUÇÃO

Item a)

Escalonando o sistema:

x  2y  z  5

para k = 0
2x  y  3z  2

2
3x
 y  k z

k

5


x  2y  z  5
x  2y  z  5



5y  z  8
2x  y  3z  2


2
5y  z k 2  3  k  10
3x  y  k z  k  5


x  2y  z  5

2x  y  3z  2 . Escalonando o sistema:
3x  y  5


x  2y  z  5
x  2y  z  5
1


5y

z


8

5y  z  8  z 


2


5y  3z   10
 4z   2



Substituindo o valor de z:
X = 11/10 e y = -17/10 e Z = 1/2





x  2y  z  5

5y  z  8

 z k2  4  k  2






Para que o sistema seja possível e determinado: k2 – 4 ≠ 0 → k ≠



2.

Para que o sistema seja possível e indeterminado: k2 – 4 = 0 → k =



2 e k – 2 = 0 , logo k = 2.

Para que o sistema seja impossível: k2 – 4 = 0 → k =
Logo, k = - 2.



2 e k – 2 ≠ 0 , logo k ≠ 2.

QUESTÃO 2

RESOLUÇÃO

Item a)
Q(x) = a + b.log(x)
a  b.log10  500

a  b.log100  800

a  b  500
. Resolvendo o sistema, obtemos

a  2b  800

a = 200 e b = 300
Item b)

Q(x) = 200 + 300.log(x)
1200 = 200 + 300.log(x)
1000
300

= logx .
10

x = 10 3 = 3 1010  3 109 . 10 103. 3 10 x = 2150 hectares.

QUESTÃO 3

RESOLUÇÃO

Item a)

No triângulo retângulo destacado temos:

5 = (2 + x) + (3 + x)
25 = 4 + 4x +x2 + 9 +6x + x2 x = - 6 (não convém) e x = 1 u.c.
Item b) S =

D.d
8.6

S = 24 u.a.
2
2

QUESTÃO 4

RESOLUÇÃO

Item a)
2.(n – 2).n + 2.(n – 1).n + 2,(n – 2).(n – 1) = 22 n2 – 2n – 3 = 0
Logo, n = 3
Item b)
(n – 2).(n – 1).n = 24 n3 – 3n2 + 2n – 24 = 0
Resolvendo a equação, temos n = 4.

QUESTÃO 5

RESOLUÇÃO

Item a)

Volume do Cubo = 43 = 64 cm3.
Volume do tetraedro.
VT 

1
1 4.4
3
.Sb.H  VT  .
.4  32/3 cm .
3
3 2

Volume do sólido restante.
V = 64 – 32/3 = 160/3 cm3.
Item b)

A área total do tetraedro corresponde a 3 triângulos retângulo e um triângulo eqüilátero.
S=





2

4