TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Transformações Lineares

• Funções lineares descrevem o tipo mais simples de dependência entre variáveis.
• Muitos problemas podem ser representados por tais funções.
• Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais.

Uma transformação linear é uma função de V em W, F: V → W que satisfaz as condições:

1) Quaisquer que sejam u e v em V: F(u+v)=F(u)+F(v) 2) Quaisquer que sejam kR e vV: F(k.v) = k.F(v)

Exemplo 1:

• V = R e W = R
• F: R → R definida por u → .u ou F(u) = .u

• Solução: F(u + v) = .(u + v) = .u + .v = F(u) + F(v)
F(k.u) = .k.u = k..u = k.F(u) Logo, F é linear!

Exemplo 2:

• F: R → R definida por u → u² ou F(u) = u²

• Solução:
F(u + v) = (u + v)² = u² + 2.u.v + v² u²+v² = F(u)+F(v)

Logo, F não é linear!

Exemplo 3:

OBS : Da definição de transformação linear,temos que a transformação do vetor nulo leva ao mesmo vetor nulo: T(0) = 0

• Isso ajuda a detectar transformações não lineares: se T(0)0, implica uma transformação não linear.
• No entanto, T(0) = 0 não é condição suficiente para que T seja linear (ex.: T(u) = u²).

Uma transformação para ser linear não implica que ela é derivada de uma função linear

• Por exemplo: (x, y) → (x + 5, y) não é transf. Linear, embora o mapeamento seja linear.

TRANSFORMAÇÕES DO PLANO NO PLANO

CONCEITOS E TEOREMAS

Universidade do Distrito Federal - UDF
Curso Superior de Engenharia
Álgebra Linear

TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS E ROTAÇÕES NO ESPAÇO

Professor: Texeira
Turma: 3261- Noturno
Aluno: Gabriel Gonçalves Sabino
RGM: 1211927

BRASILIA 2012