Trancal

Campos Vetoriais
Definição 1:
Um campo vetorial é uma função que associa um único vetor F(P) com cada ponto P de uma região do espaço 2-D ou do espaço 3-D.
Campo Vetorial F(P) pode ser expresso como
F(x,y)=f1(x,y)i+f2(x,y)j, em 2-D
F(x,y,z)=f1(x,y,z)i+f2(x,y,z)j+f3(x,y,z)k, em 3-D
O Campo vetorial pode receber denominações especiais conforme a natureza de F:
a) Se F representar velocidade, temos um campo de velocidade ou cinético.
b) Se F representar força, temos um campo de força (gravitacional, elétrico, magnético, etc.)

Representação Gráfica
Para representar geometricamente um campo vetorial, representamos o vetor F, imagem do ponto P, como um vetor de origem no ponto P.

Exemplos:
Representar geometricamente os seguintes campos vetoriais:
1) F(x,y)=j

(R5)

2) F(x,y)=xi+yj

1

3) F(x,y)=-yi+xj

Para entendermos o comportamento de um campo vetorial, vamos usar as linhas vetoriais ou linhas de campo. Isto é:

Definição 2:
Denominam-se linhas vetoriais de um campo vetorial definido por F as linhas que, pertencendo ao campo, são tangentes em cada ponto ao vetor correspondente.

Da definição de linha vetorial, resulta F(P) x dr = 0, onde dr=dxi+dyj+dzk, na forma cartesiana:

dx dy dz

 f1 f2 f3 Exemplos:
Determine as linhas vetoriais e as represente geometricamente junto com o campo vetorial:
1) F(x,y)=j
(R5)

2) F(x,y)=xi+yj

2

3) F(x,y)=-yi+xj

Campo Gradiente
Uma classe importante de campos vetoriais surge do processo de calcular gradientes.
O gradiente de uma função escalar f(x,y,z), denotado por grad f (ou f ), é um vetor definido como f
f
f i j k
x
y
z
Onde  (nabla ou Del) representa o operador diferencial grad f  f 





 i j k
x
y
z

Obs.: Em cada ponto P para o qual f ≠0, o vetor f aponta na direção em que f cresce mais rapidamente. O comprimento do vetor f é a taxa de crescimento de f.

Exemplo:
Esboce o campo gradiente:
a. f(x,y)=x2+y2