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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Instituto de Matem´tica a ´ PRIMEIRA PROVA UNIFICADA – CALCULO I
´ POLITECNICA E ENGENHARIA QU´ IMICA 11/10/2011.

GABARITO
1a Quest˜o. (2.5 pontos). Responder a 1. Calcule os seguintes limites (a) lim x 1 − 1 − x ln(x) πx tg( ) 2 . (b) lim (2 − x)
x→1

x→1+

2. Considere as fun¸˜es h(x) = (x − 1)2 e g(x) = −(x − 1)2 . Seja f (x) uma fun¸˜o co cadefinida para toda a reta e que satisfaz g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x real. (a) Prove que f (x) ´ cont´ e ınua em x = 1. (b) Dˆ um exemplo de uma tal fun¸˜o f (x) que n˜o seja diferenci´vel em x = −2. e ca a a

• Solu¸˜o. ca 1. (a) Para resolver isto podemos fazer lim x 1 − 1 − x ln(x) = lim x(ln(x) + 1) − 1 (1 − x) ln(x) .

x→1+

x→1+

Assim, obtemos a indetermina¸˜o 0/0. Logo, pela regrade L’Hˆspital, temos ca o lim x(ln(x) + 1) − 1 (1 − x) ln(x) = lim (2 + ln(x))x (1 − x) − x ln(x)


x→1+

x→1+

= −∞

(n˜o existe). a

(b) Temos a indetermina¸˜o 1∞ . Neste caso podemos fazer ca πx πx tg( ) tg( ) 2 2 = eln (2 − x) (2 − x) ln(2 − x)   cotg( πx ) 2 = e .


Logo, como a fun¸˜o exponencial ´ cont´ ca e ınua, ent˜o a ln(2 − x) πx lim πx tg( ) 2 = ex→1 cotg( 2 ) , lim(2 − x)

x→1

(1)

onde aparece a indetermina¸˜o 0/0. Logo, usando L’Hˆspital podemos concluir ca o que    −1 πx  2sen2 ( )   ln(2 − x) (2 − x) 2  = 2.  lim = lim  π lim  πx πx  = x→1 π(2 − x)  x→1 cotg( x→1 − cossec2 ( π ) 2 ) 2 2 Portanto, substitu´ ındo em (1), temos πx tg( ) 2 = e(2/π) . lim (2 − x) 1

x→1

2. (a) A fun¸˜o f (x) est´ definida em todo IR, logo est´ bemdefinida em x = 1. Al´m ca a a e disso, temos por hip´tese o −(x − 1)2 ≤ f (x) ≤ (x − 1)2 . Logo, pelo Teorema do Confronto, lim f (x) = 0. Mais ainda, para x = 1 a
x→1

desigualdade anterior implica que f (1) = 0. Portanto,
x→1

lim f (x) = f (1), isto ´, f (x) ´ cont´ e e ınua em x = 1.

(b) Existem v´rios exemplos, entre eles podemos escolher a f (x) = 0 1 , x ≥ −2 , x < −2 ou f (x) = 0 −x − 2, x ≥ −2 , x < −2

2a Quest˜o. (2.5 pontos). Responder a 1. Seja P = (x0 , 2) um ponto da curva xy 3 + y + 2x2 = 26 localizado no primeiro quadrante. Determine o ponto P e a equa¸˜o da reta normal ao gr´fico de f naquele ca a ponto. Nota: Define-se reta normal ao gr´fico de uma fun¸˜o y = f (x) num ponto P , como a ca aquela reta que ´ perpendicular ` reta tangente ` curva y = f (x) naquele ponto.e a a 2x 2. Dada a fun¸˜o f (x) = 2arctg(x) + arcsen ca . 1 + x2 (a) Encontre f ′ (x). (b) Mostre que f (x) ´ constante para todo x > 1 e determine o valor desta constante. e • Solu¸˜o. ca 1. Sabemos que o ponto P = (x0 , 2) pertence ` curva. Logo, substituindo temos que a 8x0 + 2 + 2x2 = 26, com raizes x0 = 2 e x0 = −6. Mas, por hip´tese P est´ no o a 0 primeiro quadrante, logo P = (2, 2). Al´mdisso, derivando implicitamente, temos e y 3 + 3xy 2 y ′ + y ′ + 4x = 0 isto ´ e y′ = − 4x + y 3 . 3xy 2 + 1

16 Logo, em P devemos ter y ′ (2) = − . Ent˜o a inclina¸˜o da reta tangente ` curva a ca a 25 16 25 em P ´ m = − . Assim, a inclina¸˜o da reta normal ser´ m1 = e ca a , pois devemos 25 16 ter m.m1 = −1. Finalmente, a equa¸˜o da reta normal ` curva que passa por P ser´ ca a a 25 dada pelaequa¸˜o y = (x − 2) + 2. ca 16 2. (a) Primeiro note que y = arctg(x) ⇔ tg(y) = x. Derivando a segunda express˜o em rela¸˜o a x e sabendo que 1+tg2 (y) = sec2 (y), a ca teremos 1 sec2 (y)y ′ = 1 ⇔ (arctg(x))′ = . (2) 1 + x2 Analogamente y = arcsen(x) ⇔ sen(y) = x, 1 . 1 − x2

logo, usando sen2 (y) + cos2 (y) = 1, teremos cos(y)y ′ = 1 ⇔ 2

(arcsen(x))′ = √

(3)

Finalmente, usando a regrada cadeia e as equa¸˜es (2)-(3) teremos co f ′ (x) = 2 + 1 + x2 1− = = isto ´ e f ′ (x) = 2 2(1 − x2 ) + . 1 + x2 |1 − x2 |(1 + x2 ) (4) 2 + 1 + x2 1 2x 1 + x2
2

2x 1 + x2



1 + x2 (1 − x2 )2

2(1 + x2 ) − 2x(2x) (1 + x2 )2

2(1 − x2 ) 2 + , 1 + x2 |1 − x2 |(1 + x2 )

(b) Para mostrar que f (x) ´ constante, basta ver que f ′ (x) = 0 para todo x > 1. e De fato, como x > 1,...
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