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Cap2- Realimentação

2.3- Estabilidade

• Sistema Linear Invariante no Tempo (SLIT) de 1ª ordem • pode ser analisado usando a resposta do sistema no domínio do tempo ou da frequência jω ou, mais geralmente, no domínio s = σ + jω.

• Sistema de 1ª ordem

vI i R C

vO

0 ⇐ regime livre dv O ( t ) v O ( t )   + =  v I (t ) ⇐ regime forçado dt RC {  RC  τ

• Impulso de Dirac
= 0t ≠ 0 ⇒ v I (t ) = δ (t )  = ∞ t = 0 
+∞

v O ( t ) = a + be



t

τ

•Resposta ao impulso de Dirac δ(t)

−∞

∫ δ ( t ). dt
5 4 3 2 1 0

=1
τ < 0 ⇒ Instável

•A estabilidade pode prever-se pelo tipo de resposta rδ(t) a δ(t)
Resposta a Impulso

Impulsos

Dirac
τ > 0 ⇒ Estável

0
IST Electrónica II, http://sips.inesc.pt/~eleII Moisés Piedade

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Cap2-Realimentação
• Sistema Linear Invariante no Tempo (SLIT) de 1ª ordem Vo (s) • Resposta na frequência =
Vi (s ) ω
p

2.3- Estabilidade
s 1+ ωp 123 ; sp = -ω
p

= −

1 RC

vI i R C

= 0 ⇒ pólos s p

vO
− t τ
− ωp

v O ( t ) = a + be

Plano s Real (s)

τ > 0 ⇒ Estável

τ < 0 ⇒ Instável

IST

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Moisés Piedade

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Cap2-Realimentação
• Sistema Linear Invariante no Tempo (SLIT) de 2ª ordem • Resposta no tempo
vI i R L C vO

2.3- Estabilidade

0 ⇐ regime livre  d 2vO vO R dv O  + + =  v I (t ) ⇐ regime forçado dt 2 L dt LC  LC 

•Resposta ao impulso de Dirac δ(t)
•A estabilidade pode prever-se pelo tipo de resposta rδ(t) a δ(t)
Vo (s) = Vi (s ) ω2 p ωp Qp ; s p12 = σ +ω
2 p p

±ω

p

s +s
2s1 = σ + j ω p ; rδ ( t ) = a .e
IST Electrónica II, http://sips.inesc.pt/~eleII

σ pt

(e

s 2 = σ − jω
+ jω p t

rδ ( t ) = 2 .a .e

σ pt

cos (ω p t )

+e

− jω p t

)=

p

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Cap2- Realimentação • Estabilidade de SLIT
• Pode determinar-se pela evolução no tempo da resposta natural, rn(t) , a um sinal de entrada limitado.
• Sist. estável
• rn(t)→ 0 quando t → ∞

2.3- Estabilidade
1ª ordem σp = 0,2; 0; -0,2
5 4 3 2 1 0 0 5 10

• Sist. instável
• rn(t) → ∞ quando t → ∞

rn(t) regime

transitório devido a pólos do sistema

2ª ordem instável R(s1) > 0

10 5 0 -5 -10 2
1 0 0 10 20

• Sist. marginalmente estável
• rn(t) é constante ou oscila com amplitudes constantes quando t → ∞

0

10

20

• Resposta ao impulso deDirac δ(t)
• A estabilidade pode prever-se pelo tipo de resposta rδ(t) a δ(t)

rδ ( t ) = a .e • Sist. com um pólo real • Sist. com 2 pólos complexos conjugados
σ pt

s1 t

s1 = σ + j ω p ; rδ ( t ) = a .e
IST

(e

s 2 = σ − jω
+ jω p t

rδ ( t ) = 2 .a .e

σ pt

cos (ω p t )

+e

− jω p t

)=

p

2ª ordem -1 instável -2 R(s1) < 0 2
1 0

2ª ordem marg. est. R(s1)= 0

-1 -2

0

10

20

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Moisés Piedade

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Cap2- Realimentação
• Modelo do Sistema Linear Invariante no Tempo (SLIT) Realimentado

2.3- Estabilidade

• SLIT realimentado pode ser analisado usando a resposta do sistema no domínio do tempo ou da frequência jω, ou mais geralmente no domínio s = σ + jω. • Os blocos A(s) e β(s) podemconduzir a realimentação negativa ou positiva.

• Definições:
• T(s) = A(s) β(s) ⇒ ganho de retorno
• Ganho desde a entrada de erro Xe(s) até à entrada de retroacção
A e β dependem da frequência

• F(s) = 1+ A(s) β(s) ⇒ diferença de retorno
• É o ganho Xe(s) / Xi(s).

• k(s) = Af(s) ⇒ ganho em malha fechada • Pólos do sistema
• São as raízes de F(s)

k (s) =

A(s) 1 + A(s)β (s) 14243F (s)

k ( jω ) =

• São da forma s = σ +jω

A ( jω ) 1 + A ( jω ) β ( jω )

• Resposta em frequência

Resposta a um sinal sinusoidal

• Resposta obtida quando o sistema é excitado com sinal sinusoidal s = jω • k(jω) = |k(jω)| e jφ(ω)
Resposta de amplitude |k(jω)| e resposta de fase φ(ω) IST Electrónica II, http://sips.inesc.pt/~eleII Moisés Piedade

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