trabalho

Cálculo Numérico

Professor: Alfred Gimpel

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
1. Fórmulas de Newton-Cotes.
2. Quadratura de Gauss-Legendre.
3. Bibliografia

INTRODUÇÃO
Seja uma função f(x) integrável no intervalo [a, b]:

Quando a fórmula analítica for de difícil obtenção ou se forem conhecidos somente valores discretos de ݂(‫ ,)ݔ‬se faz necessário o uso de métodos numéricos para avaliar a integral de ݂(‫.)ݔ‬
Esses métodos consistem em aproximar ݂(‫ )ݔ‬por um polinômio interpolador e determinar analiticamente a integral desse polinômio no intervalo [a, b].

FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
Seja uma função ݂(‫ )ݔ‬aproximada por um PI, por exemplo, um polinômio de Gregory-Newton:

Para n = 1:

FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
Mudança de variável de ‫ݑ → ݔ‬௫ e simplificando a notação ‫ݑ‬௫ → ‫:ݑ‬

Usando a notação ‫ݕ‬௜ = ݂(‫ݔ‬௜ ):

FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
Integrando, analiticamente, o polinômio:

Que é conhecida como regra do trapézio.

FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
Aproximação de uma função ݂(‫ )ݔ‬por um PI ܲ(‫ )ݔ‬de grau 1:

FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
Exemplo: Calcular pela regra do trapézio a integral:

Polinômio de grau 1 passa pelos pontos ܽ = ‫ݔ‬଴ = 1 ݁ ܾ = ‫ݔ‬ଵ = 4

FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
Aproximando f(x) por polinômio ܲଶ (‫ )ݔ‬de grau 2:

Mudança de variável:

FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
Equação de integração:

FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
Integrando analiticamente o polinômio:

Que é a regra de 1/3 de Simpson ou primeira regra de Simpson.

FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
Aproximação de uma função f(x) por um PI P(x) de grau 2:

FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
Exemplo: Calcular usando a regra do 1/3 de Simpson a integral:

Para construir um polinômio de grau 2 são necessários 3 pontos.
Assim, as abscissas por onde o polinômio irá passar são:

FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
Aproximando f(x) por polinômio ܲଷ (‫ )ݔ‬de grau 3:

Mudança de variável:

FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
Equação de integração:

FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
Integrando