trabalho

2. MÉTODOS DIRETOS PARA SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
Vamos, nesse parágrafo, examinar os mais usuais médotos diretos para solução numérica de sistemas lineares. Esses métodos são conhecidos como métodos de eliminação e métodos de fatoração.
2.1 - Método de Eliminação de Gauss
Veja o método de Gauss em acao:

Dado um sistema linear qualquer da forma: a11.x1 + a12.x2 + . . . + a1n.xn = b1
(2.1) a21.x1 + a22.x2 + . . . + a2n.xn = b2 . . . . . . an1.x1 + an2.x2 + . . . + ann.xn = bn o método de Gauss consiste em fazer operações entre linhas deste sistema até chegarmos a um novo sistema (que terá a mesma solução que o inicial) com a forma triangular: a'11.x1 + a'12.x2 + . . . + a'1n.xn = b'1 a'22.x2 + . . . + a'2n.xn = b'2
(2.2) . . . . . . a'nn.xn = b'n
Claro que a determinação da solução de (1.3) é óbvia e direta: o valor de x(n) já está determinado na última equação. O valor de x(n-1) será determinado na penúltima, substituindo-se o valor de x(n); o valor de x(n-2) será obtido na penúltima linha com os valores já determinados de x(n) e x(n-1) , e assim por diante até determinamos x(1). Então, desde que se consiga levar o sistema (1.2) na forma (1.3) sem alterar suas soluções, o nosso problema está resolvido. Vejamos, então, como fazer esta transformação. Usaremos um exemplo para tornar o processo mais claro.
Consideremos outra vez o sistema (1.1). Os passos a executar são:
1. considerar a 1a linha como base para a eliminação ;
2. zerar todos os coeficientes da 1a coluna abaixo da a11;
3. zerar todos os coeficientes abaixo da diagonal principal; para isso vamos fazer:
3.1. calcular o elemento mi1= - (ai1 / a11) , 1 i n;
3.2. vamos somar à 2a equação a 1a , multiplicada pelo coeficiente m21, e colocar o resultado na 2a linha. Isto também não altera a solução do sistema; repetir para