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Áreas e Volumes
Conjuntos Numéricos

Engenharia

Profa: Alessandra Stadler Favaro Misiak

Cascavel – 2009
Áreas
O conceito de região poligonal
Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmouma região poligonal e, além disso, uma região poligonal pode conter "buracos".
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Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras
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O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:
1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área.
2. Se doistriângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área.
3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma das áreas das n-regiões.
Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões triangulares.
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Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)

Unidade de área
Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.
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Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.
Área do Retângulo
A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio doretângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC. Assim:
A = b × h

Área do quadrado
Um quadrado é um casoparticular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.

Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.
A = x²

Área do Paralelogramo
Qualquer lado do paralelogramo pode sertomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.
No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.
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No paralelogramo RSTV acima à direita, osdois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.
A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h.
A=b×h

Área do losango
O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.
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A área do losango é osemi-produto das medidas das diagonais.
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Área do trapézio
Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida B2 e uma altura com medida h.
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A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura.
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Área do Triângulo
A área de um triângulo qualquer é a metade do produto da medida da base pela medida daaltura.
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Casos especiais: Conhecidos dois lados (a e b) e o ângulo ([pic]) formado por eles:
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□ Conhecidos três lados (a, b e c):
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Área do Triângulo eqüilátero
No triangulo eqüilátero, todos os lados são congruentes, todos os ângulos internos são congruentes (600, 600, 600) e toda altura é também mediana e bissetriz. Assim:
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