Trabalho Equações

EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEARES DE ORDEM SUPERIORES

Equações diferenciais de ordem superior são níveis de derivadas dentro de uma equação que se segue linearmente ao eixo x, como escrito na formulação abaixo: Uma vez que os resultados obtidos para EDOs de segunda ordem são sempre generalizáveis para ordens superiores, toda a discussão que se segue é centrada neste tipo de equações, de forma a simplificar o tratamento matemático.
Há vários métodos de resolução de equações diferenciais de primeira ordem, os quais, com exceção do método do factor integrante, eram aplicáveis independentemente de a equação ser ou não linear.
Equação linear de 2ª ordem
Forma geral: a (x) y” + a( x) y’ + a( x) y = g( x) .
Ou, na forma normalizada: y”+ p(x) y’ + q(x) y = f ( x) . Exemplo de EDO de 2º ordem:

Nesta EDO surge apenas uma derivada de segunda ordem (ou y”). Podemos resolver a equação diferencial por sucessivas separações de variáveis:

Melhorando a equação:

, Temos:

Nota-se que a solução geral apresenta duas constantes de integração, uma vez que foi necessário efetuar duas integrações para a obter. A solução geral de uma EDO de ordem n apresentaria n constantes de integração.
De forma a obtermos a solução particular deste problema necessitaremos então de duas condições iniciais (P.V.I). Só assim poderemos determinar as duas incógnitas, C1 e C2.
Se p(x), q(x) e f(x) forem funções contínuas num intervalo I, contendo o ponto x0, então a equação diferencial linear y”+ p(x) y’+q(x) y = f ( x) possui uma solução única no intervalo I satisfazendo as condições iniciais: y(0) = 0 y’(0)= 0’.
Uma equação linear de segunda ordem é homogênea se a função f(x) na equação y”+ p(x) y’ + q(x) y = f ( x), (ou a função g(x) na equação a (x) y” + a( x) y’ + a( x) y = g( x)) forem identicamente nulas, isto é, igual a 0.

Exemplo:

Substituindo os valores conforme P.V.I. y’