TRABALHO DE METODOS

UNIVERSIDADE CATÓLICA DO SALVADOR - UCSAL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
MÉTODOS NÚMERICOS

TED SOBRE O MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS

Salvador
2015
1. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
O Método dos Quadrados Mínimos é provavelmente a técnica de aproximação mais usada na análise numérica e em problemas práticos. Isto se deve tanto à sua simplicidade quanto ao fato de que em geral, buscamos aproximações para dados que são medidas obtidas experimentalmente com certo grau de incerteza. O método dos quadrados mínimos comtempla a possível existência de erros nos dados a serem aproximados. O critério de aproximação consiste em minimizar os resíduos.
Chamaremos de f(x) a função que será convenientemente aproximada por outra função ϕ(x). No caso dos quadrados mínimos lineares, partimos da hipótese de que temos algumas informações sobre o comportamento de ϕ(x). Poderíamos saber, por exemplo, que ϕ(x) é uma reta, ou seja: ϕ(x) = α1 + α2x
A questão é encontrar qual é esta reta, ou seja, quais são os valores de α1 e α2 que ajustam os pontos conhecidos.
Num outro exemplo, vamos procurar valores para α1, α2 e α3 que tornam a função uma boa aproximação dos dados: ϕ(x) = α1 + α2x + α3x2
Sejam dados os pontos (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), ..., (xm, f(xm)) e as n funções g1(x), g2(x), ..., gn(x) escolhidas de alguma forma. Considerando que o número de pontos m, tabelados, é sempre maior ou igual a n o número de funções escolhidas ou o número de coeficientes αi a se determinar.
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes α1, α2, ..., αn tais que a função ϕ(x) = α1g1(x) + α2g2(x) + ... + αngn(x) se aproxime ao máximo de f(x).
Seja dk = f(xk) – ϕ(xk) o desvio em xk. O conceito de proximidade é que dk seja mínimo para todo k = 1, 2, ..., m. No método dos quadrados mínimos consiste em escolher os aj's de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.

2. APLICAÇÃO PRÁTICA DO MÉTODO DOS MINIMOS QUADRADOS – MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS PARA