Trabalho de MA

Tarefa MA11
Unidade 1 e 2
Exercícios Propostos
6)
a)
Vamos provar que
1º)
Seja Como por hipótese , temos que , então . O que é uma contradição. Logo,
2º)
Seja , então . Porém, por hipótese, , que é contradição. Então Logo, .

b)
Vamos provar que
1º)
. Se então Por hipótese . Como então pertence somente a B. Logo .
2º)
Seja . Como então pertence somente a B. Logo,

c)
Vamos provar . .

d)
1º) Seja
2º) Seja .
Poe 1 concluímos que pertence a e não pertence a . Por outro lado, de 2 temos que está em e em , que é uma contradição. Logo, é necessário e suficiente que

9)
Não está errado em dizer que é equivalente a , porém é incorreto afirmar que é equivalente a , pois são dois polinômios diferentes.

Unidade 3

Exercícios Propostos
8) Vamos supor que os subconjuntos de e não vazio.

a)
Seja Então, existe tal que Daí temos que , isto é, Logo,

b)
Não é possível afirmar, pois se não é uma função injetora, então existem e subconjuntos de tais que: não está contido em . De fato, por não ser injetora, existem e diferentes em tais que
Seja . Como , temos: .
Entretanto, que não é o conjunto vazio.
c)
Vamos mostrar que se é injetora, então , para quaisquer e contidos . A inclusão é clara se ou .
Suponhamos, então, e são conjuntos diferentes de vazio.
Seja Então, Portanto, existe tais que .
Como é injetora, temos e, portanto,.
Logo, . Logo, para ter para quaisquer e contidos em , é necessário e suficiente que a função seja injetora.

Exercícios Suplementares
2)
a)
Seja Temos que ou ou

b)
Seja Temos que e e

Unidade 4

Exercícios Propostos
3)
a)
Seja e é primo, queremos provar que
Vamos supor que . Então .
Supondo que essa fração esteja simplificada ao máximo, de modo que não seja possível simplificar mais. Então, e não podem ser pares ao mesmo tempo, pois se ambos forem pares, daria pra simplificar por dois.
Seja então: