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Capítulo 8

INTEGRAÇÃO DUPLA
8.1 Integração Dupla sobre Retângulos
Denotemos por R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} um retângulo em R2 . Consideremos P1 = {x0 , x1 , ...., xn } e P2 = {y0 , y1 , ...., yn } partições de ordem n de [a, b] e [c, d] respectivamente, tais que: e a = x0 < x1 < . . . . . . < xn = b e xi+1 − xi =

c = y 0 < y 1 < . . . . . . < yn = d

d−c b−a , yj+1 − yj =
.
n n d yj+1 yj

R

R ij

c xi a

x i+1

b

Figura 8.1: Partição de R.
O conjunto P1 × P2 é denominada partição do retângulo R de ordem n. Sejam os n2 sub-retângulos Rij = [xi , xi+1 ] × [yj , yj+1 ] e cij ∈ Rij arbitrário (i, j = 0, ...., n − 1).
Considere a função limitada f : R −→ R. A soma n−1 n−1

f (cij ) ∆x ∆y,

Sn = i=0 j=0

onde ∆x =

d−c b−a e ∆y = é dita soma de Riemann de f sobre R. n n
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CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA

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Definição 8.1. Uma função f : R −→ R limitada é integrável sobre R se lim Sn ,

n→+∞

existe independente da escolha de cij ∈ Rij e da partição; em tal caso denotamos este limite por: f (x, y) dx dy,
R

que é denominada integral dupla de f sobre R.

Teorema 8.1. Toda f : R −→ R contínua é integrável.
A prova deste teorema pode ser vista em [EL].

8.2 Significado Geométrico da Integral Dupla
Se f é contínua e f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R, a existência da integral dupla de f sobre R tem um significado geométrico direto. Consideramos o sólido W ⊂ R3 definido por:
W = {(x, y, z) ∈ R3 / a ≤ x ≤ b,

c ≤ y ≤ d,

0 ≤ z ≤ f (x, y)}

Figura 8.2: O sólido W .
W é fechado e limitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente por R e lateralmente pelos planos x = a, x = b, y = c, y = d. Se denotamos por
V (W ) o volume de W , então: f (x, y) dx dy

V (W ) =
R

De fato, escolhendo cij como o ponto onde f atinge seu máximo sobre Rij (pois R é fechado, limitado e f é contínua), então f (cij ) × ∆x × ∆y é o volume do paralelepípedo de