Teste resolvido topicos de matematica

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Universidade do Minho
Departamento de Matem´tica e Aplica¸oes a c˜

Licenciatura em Ciˆncias da Computa¸˜o e ca
2011/2012

T´picos de Matem´tica o a
primeiro teste - uma proposta de resolu¸˜o :: 30 de novembro de 2011 ca

vers˜o A a exerc´ ıcio 1. Indique quais das seguintes f´rmulas s˜o tautologias (T) e quais n˜o s˜o tauo a a a tologias (N). T 2 x 2 N x 2 x (p ⇔ ¬p) ∧ (q ∨ ¬q) (¬p ∧ (p∨ q)) ⇒ q ¬(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)

exerc´ ıcio 2. Considere a f´rmula ϕ : (¬q ⇒ r) ⇒ (p ∧ (q ∨ ¬r)). Indique quais das seguintes o condi¸oes s˜o necess´rias para que ϕ tenha um valor l´gico verdadeiro (N) e quais s˜o sufic˜ a a o a cientes (S). N x 2 x S 2 x 2 r ⇒ q tem valor l´gico verdadeiro. o p ∧ q ∧ r tem valor l´gico verdadeiro. o ¬p ∧ r tem valor l´gico falso. o

exerc´ ıcio 3. Considere aseguinte proposi¸ao, em que o universo de cada uma das quanc˜ tifica¸oes ´ um subconjunto U de N0 : c˜ e p: ∀x∀y∀z (xy = xz) ⇒ (y = z)

Indique para quais dos seguintes universos de quantifica¸ao a proposi¸˜o p ´ verdadeira (V) c˜ ca e e para quais ´ falsa (F). e V x 2 x F 2 x 2 U = {n ∈ N : n ´ ´ e ımpar} U = {0, 2, 4, 6, 8, 10} U = {x ∈ N : x2 + 4 = 0}

exerc´ ıcio 4. Considere a seguinteproposi¸ao, em que o universo de cada uma das quanc˜ tifica¸oes ´ o conjunto dos n´meros reais: c˜ e u q: ∀x∀y(y > x ⇒ ∃z : x + z < y)

Indique quais das seguintes proposi¸oes s˜o equivalentes a nega¸˜o da proposi¸˜o q (E) e c˜ a ` ca ca quais n˜o s˜o equivalentes (N). a a E x 2 2 N 2 x x ∃x∃y (y > x ∧ (∀z, x + z ≥ y)) ∃x∃y (y ≤ x ⇒ (∀z, x + z ≥ y)) ∃x∃y (y ≤ x ∨ (∃z : x + z < y))

exerc´ ıcio 5.Considere o conjunto A = {1, {1}, {2, 1}, (1, 2)}. Indique quais das seguintes afirma¸oes s˜o verdadeiras (V) e quais s˜o falsas (F): c˜ a a V 2 x x F x 2 2 (2, 1) ∈ A {1} ∈ A e {1} ⊆ A {1, 2} ∈ A ou {1, 2} ⊆ A

vers˜o B a exerc´ ıcio 1. Indique quais das seguintes f´rmulas s˜o tautologias (T) e quais n˜o s˜o tauo a a a tologias (N). T x 2 x N 2 x 2 (p ⇔ ¬p) ∨ (q ∨ ¬q) ¬(p ⇒ q) ⇔ (¬p ⇒ ¬q) (¬q ∧(p ⇒ q)) ⇒ ¬p

exerc´ ıcio 2. Considere a f´rmula ϕ : (p ⇒ (¬q ∧ r)) ⇒ ¬(q ∨ r). Indique quais das seguintes o condi¸oes s˜o necess´rias para que ϕ tenha um valor l´gico verdadeiro (N) e quais s˜o sufic˜ a a o a cientes (S). N 2 x x S x 2 2 p ∨ q ∨ r tem valor l´gico falso. o ¬(r ∧ ¬p) tem valor l´gico verdadeiro. o r ⇒ q tem valor l´gico verdadeiro. o

exerc´ ıcio 3. Considere a seguinteproposi¸ao, em que o universo de cada uma das quanc˜ tifica¸oes ´ um subconjunto U de R: c˜ e p: ∀a∀b∀c (ac = bc) ⇒ (a = b)

Indique para quais dos seguintes universos de quantifica¸ao a proposi¸˜o p ´ verdadeira (V) c˜ ca e e para quais ´ falsa (F). e V 2 x x F x 2 2 U = {−5, −1, 0, 1, 5, 25} U = {x ∈ R : x2 + 1 = 0} U = {n ∈ N : n ´ primo} e

exerc´ ıcio 4. Considere a seguinte proposi¸ao, em queo universo de cada uma das quanc˜ tifica¸oes ´ o conjunto dos n´meros reais: c˜ e u q: ∀x∃y(y ≤ x ⇒ ∃z : y + z > x)

Indique quais das seguintes proposi¸oes s˜o equivalentes a nega¸˜o da proposi¸˜o q (E) e c˜ a ` ca ca quais n˜o s˜o equivalentes (N). a a E 2 2 x N x x 2 ∃x∀y (y > x ⇒ (∀z, y + z ≤ x)) ∃x∀y (y > x ∨ (∃z : y + z > x)) ∃x∀y (y ≤ x ∧ (∀z, y + z ≤ x))

exerc´ ıcio 5. Considere oconjunto A = {2, {1, 2}, (2, 1)}. Indique quais das seguintes afirma¸oes s˜o verdadeiras (V) e quais s˜o falsas (F): c˜ a a V 2 x 2 F x 2 x (1, 2) ∈ A {2} ∈ A ou {2} ⊆ A {1, 2} ∈ A e {1, 2} ⊆ A

vers˜o C a exerc´ ıcio 1. Indique quais das seguintes f´rmulas s˜o tautologias (T) e quais n˜o s˜o tauo a a a tologias (N). T 2 x x N x 2 2 (¬p ⇒ ¬q) ⇔ ¬(p ⇒ q) (q ∨ ¬q) ∨ (p ⇔ ¬p) ((p ⇒ q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p exerc´ ıcio 2. Considere a f´rmula ϕ : (p ⇒ (r ∧ ¬q)) ⇒ ¬(r ∨ q). Indique quais das seguintes o condi¸oes s˜o necess´rias para que ϕ tenha um valor l´gico verdadeiro (N) e quais s˜o sufic˜ a a o a cientes (S). N x x 2 S 2 2 x r ∧ ¬p tem valor l´gico falso. o ¬(r ⇒ q) tem valor l´gico falso. o p ∨ q ∨ r tem valor l´gico falso. o

exerc´ ıcio 3. Considere a seguinte proposi¸ao, em que o universo de...
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