Teoria projeto de sistemas lineares

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Trabalho Final Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Marlon Henrique Teixeira 26 de julho de 2011

1

Descri¸ ao do Sistema c˜
• Seja o sistema acadˆmico discreto no tempo com atraso nos estados e x[k + 1] = Ax[k] + Ad x[k − 3] + Bu u[k] + Bw u[w] Y [k] = Cx[k] + Cd x[k − 3] + Du u[k] + Dw u[w] • Sendo atraso d = 3, A = Bw = 1 0, 3


(1) (2) 0


−0, 7 0, 2 0 −0, 8 1 3 , Cd =

, Ad=

0, 4 0, 2 0 0, 4 1

, Bu = e Dw =

1 0

,

,C=

0 0 , Du =

• Como o sistema tem atraso nos estados, para que possamos trat´-lo como um sistema sem atraso, a reescrevemos esse sistema na forma aumentada, resultando nas seguintes matrizes:        ′ −0, 7 0, 2 0 0 0 0 0, 4 0, 2 1 1 1  0  0   0, 3   3  −0, 8 0 0 0 0 0 0, 4           1  0   0   0  0 0 00 0 0 0           0       1 0 0 0 0 0 0   , B u =  0 , B w =  0 , C =  0  , A=  0   0   0  0 0 1 0 0 0 0 0           0  0   0   0  0 0 1 0 0 0 0           0  0   0   0  0 0 0 1 0 0 0  0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Du = 1 e Dw = 0

• Veja as respostas temporais do sistema em malha aberta na Figura 1.

2

Estabilidade Interna
  λ1 =−1, 0478    λ2 = −0, 1583 + 0.7414i     λ3 = −0, 1583 − 0.7414i    λ4 = 0, 6643   λ5 = −1, 1003   λ6 = −0, 1753 + 0, 7265i     λ7 = −0, 1753 − 0, 7265i    λ8 = 0, 6508

Os autovalores de A s˜o: a

Assim sendo, como existem autovalores com m´dulo maior que um, esse sistema ´ dito inst´vel, para um o e a atraso igual a 3 amostras.

1

x 10 5 0 −5

27

Degrau naentrada de controle

Amplitude

12.8

13

13.2 13.4 Amostras − T = 0,01 (seconds) Degrau na entrada de perturbação

13.6

13.8

x 10 2 0 −2 −4

28

Amplitude

6.4

6.5

6.6

6.7 Amostras − T = 0,01 (seconds)

6.8

6.9

Figura 1: Resposta ao Degrau em Malha Aberta aplicados na entrada de controle e perturba¸ao c˜

3

Autovetores
                       0, 5348 0 −0, 5104 0 0, 4871 0 −0, 4649 0 0, 2546 −0, 5106 −0, 2314 0, 4641 0, 2103 −0, 4218 −0, 1911 0, 3833                                                 0, 1776 − 0, 2430i 0 −0, 3624 − 0, 1622i 0 −0, 1094 + 0, 5122i 0 0, 6909 0 0, 1880 − 0, 2186i −0, 0043 + 0, 0457i −0, 3433 − 0, 1759i 0, 0608 − 0, 0088i −0, 1211 + 0, 5018i −0, 0305 −0, 0763i 0, 6906 −0, 0897 + 0, 0636i                                    0, 1776 + 0, 2430i 0 −0, 3624 + 0, 1622i 0 −0, 1094 − 0, 5122i 0 0, 6909 0 0, 1880 + 0, 2186i −0, 0043 − 0, 0457i −0, 3433 + 0, 1759i 0, 0608 + 0, 0088i −0, 1211 − 0, 5018i −0, 0305 + 0, 0763i 0, 6906 −0, 0897 − 0, 0636i                                    −0,2234 0 −0, 3363 0 −0, 5062 0 −0, 7620 0 0, 2115 −0, 0229 0, 3250 −0, 0351 0, 4994 −0, 0540 0, 7673 −0, 0829                        

            

            

Uma entrada But(t) na mesma dire¸˜o de um autovetor significa Bu(t) = kq, onde k = λw, sendo w um ca escalar qualquer, λ um autovalor e q o autovetor correspondente. Como Aλ = λq ⇒Aλw = λqw, assim o sistema ficaria: x = Ax + Ak = A(x + k), ou seja, o k influenciaria exatamente nos estados desejados. Mas ˙ nem sempre isso ´ poss´ e ıvel.

4

Forma Diagonal ou Forma do Jordan

ca Como tem-se autovalores complexos, para obter uma matriz de transforma¸˜o de similaridade, utilizaremos a seguinte regra de forma¸˜o: P −1 = [ v1 v4 v5 v8 Re (v2 ) Im(v2 ) Re (v6 ) Im(v6 ) ], onde P−1 , ca ´ composta por autovetores de A. Chamando de AJ a matriz na forma de Jordan do sistema aumentado, e temos que AJ = P AP −1 . Calculando esse produto no Matlab, obtem-se:

2

AJ

     =      



−1, 0478 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 6643 0 0 0 0 0 0 0 0 −1, 1003 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 6508 0 0 0 0 0 0 0 0 −0, 1583 0, 7414 0 0 0 0 0 0 −0, 7414 −0, 1583 0 0 0 0 0 0 0 0 −0, 1753...
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