Teoria Dos Numeros

Propriedades dos Números Inteiros

As propriedades mais importantes dos números inteiros (e que não têm similares nos números reais e complexos) são o Princípio da Boa Ordenação e o Princípio da Indução.

Pelo Princípio da Boa Ordenação: Qualquer conjunto não vazio de inteiros, limitado inferiormente, possui um elemento mínimo.

Segundo o Princípio da Indução: Se uma propriedade P(n), referente ao inteiro n, for verdadeira para n=a e a veracidade de P(n) fizer com que P(n+1) seja verdadeira, então P(n) é verdadeira para todo inteiro maior ou igual a a.
A partir das propriedades usuais da adição e da multiplicação de inteiros, da relação < e do Princípio da Boa Ordenação (ou do da Indução, que lhe é equivalente), é possível construir toda a Teoria dos Números. Um de seus resultados mais importantes é o Teorema Fundamental da Aritmética, segundo o qual todo inteiro (diferente de 0, 1 e –1) pode ser escrito de modo único como um produto de fatores primos.
O Princípio da Boa Ordenação
Quando tentamos desenvolver os inteiros axiomaticamente, através de uma pequena lista de suposições básicas, geralmente incluímos o Princípio da Boa Ordenação como um dos itens da lista:

Princípio da Boa Ordenação
Todo conjunto S de inteiros positivos não vazio contém um elemento mínimo, isto é, existe pelo menos um elemento em S de modo que a < b para todos os elementos b de S.

Observe que os números reais positivos não têm esta propriedade. Por exemplo, não existe o menor número real positivo r porque r/2 é um número real positivo menor! Os inteiros negativos também não possuem esta propriedade porque se r for um inteiro negativo, então r-1 é um inteiro negativo menor.

Este princípio dos inteiros positivos é muito simples, porém tem muitas consequências. Veja uma delas na seguinte demonstração:

Teorema
Todo inteiro n maior do que 1 pode ser expresso como um produto de primos.
Demonstração:
Ou n é primo ou possui um divisor diferente de um e ele