Teorema fundamental da aritmética

Demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética
Teorema
Seja um inteiro positivo. Então, existem primos positivos tais que , e essa decomposição é única.
Demonstração:
Existência de uma decomposição
Será usado para esta demonstração o Princípio de indução completa.
Para existe uma decomposição trivial em números primos, já que 2 é, ele próprio, um número primo. Suponhamos agora que existe uma decomposição para todo inteiro . Mostraremos que também vale para .
Se é primo, admite a decomposição trivial. Caso contrário, admite um divisor positivo tal que . Isto é, , e temos também . Pela hipótese de indução, e podem ser escritos como produtos de primos, na forma , .
Substituindo, temos , e o resultado também vale para .
Unicidade da decomposição
Dado um inteiro , ele poderia admitir, em princípio, mais de uma decomposição em produto de fatores primos. Será chamado comprimento de uma decomposição ao número de fatores que nela comparecem.
A demonstração será feita por indução no comprimento de uma decomposição de .
Suponhamos que admita uma decomposição do tipo , onde é primo, e que vale , em que são primos positivos. Como divide , também divide , que é primo. Então, devemos ter . Cancelando, vem . Se , teríamos que o primo seria invertível, uma contradição. Assim, e, como já provamos que , o primeiro passo de indução está verificado.
Suponhamos agora o resultado verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento , e seja um inteiro com uma decomposição de comprimento . Se admitisse outra decomposição, temos , em que são primos positivos.
Como na primeira parte, divide e temos que divide , para algum (Lema de Euclides). Como é primo, devemos ter novamente que . Em particular, .
De forma análoga, pode-se obter que , para algum j. Logo, . De ambas as desigualdades, vem que . Finalmente, cancelando em , temos que .
Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de