Teorema de green

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CAP´ ITULO 9 TEOREMA DE GREEN

9.1 Teorema de Green para Regi˜es Limitadas por o Curvas Fechadas Simples Parametrizadas por Fun¸oes c˜ 1 de Classe C por Partes
Vamos come¸ar a nos preparar para o Teorema de Green, que ´ um important´ c e ıssimo teorema em an´lise vetorial com muitas aplica¸oes. Inclusive, ele permite demonstrar a c˜ que, para certos conjuntos especiais no plano, a condi¸˜o doTeorema 8.5.1 tamb´m ca e ´ uma condi¸ao suficiente. Antes de enunciar o teorema, vamos definir curvas simples. e c˜ DEFINICAO 9.1.1: Seja C uma curva parametrizada pela fun¸˜o γ : [a, b] → R2 . ¸˜ ca Se γ ´ injetora em [a, b) i.e.γ(t1 ) = γ(t2 ) para todo t1 = t2 , t1 , t2 ∈ [a, b), ent˜o C ´ e a e dita uma curva simples.

Uma curva simples ´ portanto uma curva sem auto-interse¸ao. Observe que Cpode ser e c˜ simples e fechada, pois observe que na defini¸˜o de curva simples existe a possibilidade ca de termos γ(a) = γ(b), uma vez que o intervalo de varia¸˜o de t1 e t2 est´ aberto em b. ca a Neste caso, i.e. se C ´ uma curva fechada, dizemos que C ´ uma curva fechada simples. e e

TEOREMA 9.1.1: (Teorema de Green para Regi˜es Limitadas por Curvas o Fechadas Simples Parametrizadas porFun¸oes de Classe C 1 por Partes) c˜ 1 Sejam P e Q campos escalares de classe C , definidos em um aberto Ω ⊆ R2 . Seja C uma curva fechada simples, imagem de uma fun¸˜o de classe C 1 por partes, e seja B a ca regi˜o determinada pela uni˜o da curva C com seu interior. Se B est´ contida em Ω, a a a ent˜o a ∂Q ∂P − P dx + Q dy = dx dy, ∂x ∂y C B onde a integral de linha ´ calculada no sentido anti-hor´rio.e a

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C´lculo Dif. e Int IV - Notas de Aula - Prof a Denise a

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Observa¸˜o 9.1.1: A f´rmula do Teorema de Green dada acima (Teorema 9.1.1) ca o tamb´m se aplica se C for uma curva fechada simples, formada pela uni˜o finita de e a 1 curvas imagens de fun¸oes de classe C por partes. c˜

Observa¸˜o 9.1.2: (Teorema de Stokes no Plano) Dado o campo vetorial F (x, y) = ca (P(x, y), Q(x, y)) = P (x, y)i + Q(x, y)j de classe C 1 no aberto Ω em R2 , vimos na Observa¸ao 4.3.9 que podemos associ´-lo ao campo vetorial F∗ definido em R3 , dado por c˜ a F∗ (x, y, z) = (P (x, y), Q(x, y), 0) = P (x, y)i + Q(x, y)j e, desta forma, definimos o “rotacional” de F como “rot”F = ∂Q ∂P − = ∂x ∂y × F∗ .k.

Portanto, se C ´ uma curva fechada simples, imagem de uma fun¸ao de classe C 1por e c˜ partes, e B ´ a regi˜o determinada pela uni˜o da curva C com seu interior, onde B e a a est´ contida em Ω, podemos escrever o Teorema de Green como a F . dr =
C B

× F∗ .k dx dy =
B

“rot”F dx dy.

Nesta forma, o Teorema de Green ´ conhecido como Teorema de Stokes no Plano. e Para o pr´ximo exemplo, lembre-se que dados um conjunto B ⊆ R2 e um ponto o (x0 , y0 ) ∈ R2 , dizemos que(x0 , y0 ) ´ um ponto de fronteira de B se toda bola aberta e de centro (x0 , y0 ) contiver pelo menos um ponto de B e pelo menos um ponto que n˜o a pertence a B. Al´m disso, temos que o conjunto de todos os pontos de fronteira de B e ´ chamado de fronteira de B. e x2 x2 − y 2 dx + + y 4 dy, onde C ´ a fronteira da e 2 2 C regi˜o B definida por B = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0},orientada no a sentido anti-hor´rio. a Exemplo 9.1.1: Calcule Solu¸˜o: Inicialmente observe que P e Q s˜o campos escalares de classe C 1 , uma vez ca a que s˜o fun¸˜es polinomiais. Al´m disso, temos que C ´ uma curva fechada simples de a co e e 1 classe C por partes, orientada no sentido anti-hor´rio. Sendo assim, pelo Teorema de a Green, temos que P dx + Q dy =
C B

∂Q ∂P − ∂x ∂y

dx dy,onde B = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}. Na figura baixo temos um esbo¸o da regi˜o B e da curva C. c a

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Como ∂Q ∂P − = x + y, ∂x ∂y segue que P dx + Q dy =
C B

x + y dx dy.

Uma vez que B ´ a parte de um anel no primeiro quadrante, vamos utilizar coordenadas e polares. Desta forma, temos que
π/2 2...
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