Tarefa módulo 12 - matemática 1 - unisinos

UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS Matemática para Computação Prof. Rodrigo Orsini Braga

GABARTIO DA TAREFA DO MÓDULO 12: INDUÇÃO
Princípio da Indução Matemática
Seja p(n) uma propriedade relativa aos números naturais. Seja a ∈ℕ . Se (i) (Base de indução) e (ii) (Passo de indução) ∀ k∈ℕ , k a ,

p(a) é verdadeira p k⇒ p k1 ; então p(n) é verdadeira para todo n ∈ℕ , n ≥ a.

Questão 1: Utilize o Princípio da Indução Matemática para demonstrar que as igualdades são

verdadeiras para qualquer inteiro positivo n. (a)

2  4  6  2 n = n n1 .

Inicialmente, verificamos que a sentença acima vale para n=1 . Veja que, do lado esquerdo, só vamos ter o primeiro termo 2 n=2⋅1=2 . Pelo lado direito, vamos ter que n n1=111=1⋅2=2 , o que verifica a fórmula para n=1 . Após, supondo que vale para um certo k 1 , temos que provar que vale para k 1 , ou seja, partindo-se da equação 2  4  6  2 k = k k 1 , somamos em ambos os lados desta igualdade, o próximo termo da sequência, que é o termo 2 k 2 , obtendo

2  4  6  2 k 2 k 2 = k k 1  2 k 2 . Desenvolvemos o lado direito até obter o resultado da fórmula para n=k 1 , que é k 1k 2 . Veja que k k 1  2 k 2 = k k1  2k 1 = k 1k 2 . Caso não tenha visto isto, desenvolva os termos k k 1  2 k 2 e k 1k 2 separadamente, para ver que são iguais a k 23 k 2 , o que completará o passo de indução. Concluimos que o Princípio da Indução nosgarante que a sentença é verdadeira para todo n1 .
(b)

1 5  9  4 n−3 = n2 n−1 .

Inicialmente, verificamos que a sentença acima vale para n=1 . Veja que, do lado esquerdo, só vamos ter o primeiro termo 4 n – 3 = 41 – 1=1 . Pelo lado direito, vamos ter que n 2 n−1=12 – 1=1, o que verifica a fórmula para n=1 . Após, supondo que vale para k , temos que provar que vale para k 1 , ou seja, partindo-se da equaçãos 1 5  9  4 k −3 = k 2 k −1 . Somamos em ambos os lados da igualdade, o