tabela de limites
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14 páginas
GUIDG.COM1
19/6/2012 – CDI – Cálculo avançado, Limites.
Tabela de Limites
Resumo informal tabelado para definições, Limites notáveis, propriedades e regras gerais.
Legenda: D = Definição; P = Proposição ou Propriedade; F = Fundamental ou Notável ; T = Teorema ; R = Regras
Leg.
Limite
Descrição e Demonstração se possível
Antes de qualquer teoria sobre limites é importante saber o que significa a notação de limites, ou seja como se faz a leitura dos símbolos abaixo:
R0
1 – f (x) , lê-se “f de x” e significa “função de x”.
2 – x Q a , lê-se “x tende à a”.
3–
lim f x = b
xQa
` a
lê-se: O limite de f (x) quando x tende à a é igual a b.
,
ou ainda: O limite de f (x) é b quando x tende à a.
Limites Laterais:
x Q a + , lê-se “x tende à a pela direita”. x Q a@ , lê-se “x tende à a pela esquerda”.
a)
lim+ f x = L
xQa
` a
Dizemos que o limite de uma função quando x tende à a pela direita (isto é, na reta real, dos valores maiores para os menores), é L.
Então L é o limite á direita.
b)
T1
lim f x = L x Q a@
` a
Dizemos que o limite de uma função quando x tende à a pela esquerda (isto é, na reta real, dos valores menores para os maiores), é L.
Então L é o limite á esquerda.
c) Teorema do Limite bilateral:
Se f(x) é definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então:
lim f x = L ^ lim+ f x = x lim@ f x = L xQa Qa
` a
xQa
` a
` a
Ou seja: O limite bilateral existe se, e somente se os limites laterais existirem e forem iguais.
Teorema da Unicidade:
T2
Se
lim f x = b1 xQa ` a
e
lim f x = b2 xQa ` a
então
b1 = b2 .
Limites, definição:
Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos que:
D1
lim f x = L se 8 ε > 0 , 9 δ > 0 | xQa ` a
L ` a
M
L
M
L f x @ LM < ε
L
M
sempre que Lx @ aM < δ .