solutuion guidorizzi vol 2 cap

CAPÍTULO 5
Exercícios 5.1
1.
c)

dx
Ϫ x ϭ cos t dt x ϭ ke t ϩ e t

Como

Ú

( a ϭϪ 1 e f (t ) ϭ cos t )

eϪt cos t dt .

Ú eϪt cos t dt ϭ 2 [eϪt sen t Ϫ eϪt cos t ] segue
1

[

]

e t Ϫt e sen t Ϫ eϪt cos t e, portanto,
2
sen t cos t . x ϭ ke t ϩ
Ϫ
2
2

x ϭ ke t ϩ

q)

dT
Ϫ 3T ϭ 2 (a ϭ Ϫ3 e f(t) ϭ 2) ¤ T ϭ ke 3t ϩ e 3t dt eϪ3t ◊ 2 dt .
Ú14
4244
3
Ϫ

Logo, T ϭ k e 3t Ϫ
2.

2 Ϫ3t e 3

2
.
3

dp ϭ kp, pois a taxa de aumento é proporcional ao número presente. dt dp ϭ kp e p(0) ϭ p0 ¤ p ϭ p0 p0 e kt. dt Quando t ϭ 2, temos p ϭ 2 p0.
Então, 2p0 ϭ p0 e2k Þ

t ln 2 ϭ p ( 2 )t . k ϭ ln 2 . Portanto, p ϭ p0 e
0

Ao final de 6 horas, temos:

p ϭ p0 ( 2 )6

Þ p ϭ 8 p0 .

4.
a)

R di R
E (t ) Ê aϭ ϩ iϭ
Ë
L dt L
L

e

f (t ) ϭ

E (t ) ˆ
.
L ¯

R
Ϫ t i ϭ ke L

R
Ϫ t ϩe L

R
Ϫ t i ϭ ke L

R
Ϫ t ϩe L

R
Ϫ t i ϭ ke L

ϩ

Ú

R t eL

E0
}
E (t ) dt , daí
L

R

t
E
◊ 0 ◊ e L e, portanto,
R

E0
.
R
R

Ϫ t
E
E
De i ϭ 0 para t ϭ 0, segue k ϭϪ 0 . Portanto, i ϭϪ 0 (1 Ϫ e L ).
R
R

b) Consideremos L ϭ 2; R ϭ 10; E(t) ϭ 110 sen 120␲ t e i ϭ 0 para t ϭ 0. di ϩ 5i ϭ 55 sen 120␲ t ( a ϭ 5 e f (t ) ϭ 55 sen 120␲ t ) dt i ϭ keϪ5t ϩ eϪ5t

Ú

e 5t 55 sen 120␲ t dt.

Integrando por partes, temos
Ê
ˆ
1
i ϭ keϪ5t ϩ Á
˜ (Ϫ264␲ cos 120␲ t ϩ 11 sen 120␲ t ).
2
Ë 1 ϩ 576␲ ¯

Como i ϭ 0 para t ϭ 0, k ϭ

264␲
. Portanto,
1 ϩ 576␲ 2

ˆ
Ê
1
Ϫ5t Ϫ 264␲ cos 120␲ t ϩ 11 sen 120␲ t . iϭ Á
˜ 264␲e
Ë 1 ϩ 576␲ 2 ¯

(

)

Exercícios 5.2
1.
a)

d2x dx Ϫ2
Ϫ 3x ϭ 0 dt 2 dt Equação característica: ␭2 Ϫ 2␭ Ϫ 3 ϭ 0. Raízes: ␭1 ϭ 3 e ␭2 ϭ Ϫ1.
Solução geral: x ϭ Ae3t ϩ BeϪt.
e)

d2x
Ϫ 3x ϭ 0 dt 2

Equação característica: ␭2 Ϫ 3 ϭ 0. Raízes: ␭1 ϭϩ 3 e ␭2 ϭϪ 3 .

37

Solução geral: x ϭ Ae

3t

ϩ BeϪ

3t .

2
g) d y Ϫ dy Ϫ 2 y ϭ 0 dx 2 dx Equação característica: ␭2 Ϫ ␭ Ϫ 2 ϭ 0. Raízes: ␭1 ϭ 2 e ␭2 ϭ Ϫ1.
Solução geral: y ϭ Ae2x ϩ BeϪx.

h)

d2y dy ϩ6 ϩ 9y ϭ 0
2
dx dx Equação característica: ␭2 ϩ 6␭ ϩ 9 ϭ 0. Raízes ␭1 ϭ ␭2 ϭ Ϫ3.
Solução geral: y ϭ AeϪ3x ϩ B xeϪ3x ou y ϭ eϪ3x (A ϩ Bx).

d2x ϭ0 dt 2
Equação característica: