Cap

CAPÍTULO 8
Exercícios 8.1
1.
Seja f(x, y) ϭ 3x ϩ 2y.
a) f(1, Ϫ1) ϭ 3 · 1 ϩ 2 (Ϫ1) ϭ 1.
d)

f ( x, y ϩ k ) Ϫ f ( x, y) 3 x ϩ 2 y ϩ 2 k Ϫ 3 x Ϫ 2 y ϭ ϭ2 k k

2. Seja f ( x, y) ϭ

xϪy . x ϩ 2y

a) D( f ) ϭ {( x, y) ʦ ‫ ޒ‬2 Ȋ x ϩ 2 y π 0} , ou seja,

D( f ) ϭ {( x, y) ʦ ‫ ޒ‬2 Ȋ x π Ϫ2 y}.
4. f(x, y) ϭ ax ϩ by. Temos f(1, 0) ϭ a Þ a ϭ 2 e f(0, 1) ϭ b Þ b ϭ 3
Logo, f(x, y) ϭ 2a ϩ 3b.
5.
a) f ( x, y) ϭ

x 3 ϩ 2 xy 2
. Temos x 3 Ϫ y3

f (␭x, ␭y) ϭ

3
2
␭ 3 x 3 ϩ 2␭ 3 xy 2
0 x ϩ 2 xy , ou seja, ϭ ␭
␭ 3 x 3 Ϫ ␭ 3 y3 x 3 Ϫ y3

f(␭x, ␭y) ϭ ␭0f(x, y). Logo, f é homogênea de grau zero.
d) f ( x, y) ϭ

2 x 2 ϩ y2

. Temos

2
2
. f (␭x, ␭y) ϭ 2 2 ϭ ␭Ϫ2 ◊ 2
2
2
␭ x ϩ␭ y x ϩ y2

f(␭x, ␭y) ϭ ␭Ϫ2 f(x, y) Þ f é homogênea de grau Ϫ2.

6. f(a, b) ϭ a para todo (a, b) com a2 ϩ b2 ϭ 1 e f é homogênea de grau 2. æ 3
1ö
a) f ( 4 3 , 4) ϭ f ◊ ç 8 ◊
, 8 ◊ ÷.
2
2ø è Como f é homogênea de grau 2, segue: æ 3
1ö
f ç8 ◊
, 8 ◊ ÷ ϭ 82
2ø
2 è æ 3 1ö
3
fç
, ÷ ϭ 64 ◊ ϭ 32 3 ,
2
è 2 2ø

2

æ 3ö æ 3 1ö
1 2
3
ϩ æ ö ϭ1 e f ç
, ÷ϭ
.
pois ç
÷
è ø 2
2
è 2 ø è 2 2ø æ c) f ( x, y) ϭ f ç x 2 ϩ y 2 ◊ è x x 2 ϩ y2

, x 2 ϩ y2 ◊

ö
÷.
x 2 ϩ y2 ø y Como f é homogênea de grau 2 segue:

f ( x, y) ϭ

(

x 2 ϩ y2

)

2

æ x fç
,
2 è x ϩ y2
2

ö
÷.
x 2 ϩ y2 ø y 2

æ ö æ ö x y Desde que ç ϩç ÷
÷ ϭ 1, segue: è x 2 ϩ y2 ø è x 2 ϩ y2 ø f ( x, y) ϭ ( x 2 ϩ y 2 ) ◊

x x 2 ϩ y2

ϭx

x 2 ϩ y2 .

Exercícios 8.2
4.
a) Seja f(x, y) ϭ (x Ϫ 1)2 ϩ (y Ϫ 1)2 ϩ 3 e A ϭ ‫ޒ‬2.
Para cada c real, a curva de nível de f correspondente a z ϭ c é f(x, y) ϭ c, ou seja:
(x Ϫ 1)2 ϩ (y Ϫ 1)2 ϩ 3 ϭ c Þ (x Ϫ 1)2 ϩ (y Ϫ 1)2 ϭ c Ϫ 3.
As curvas de nível de f são circunferências concêntricas de centro (1, 1) e raio
2

Logo, c у 3. Temos cmín ϭ 3 e f(1, 1) ϭ 3 o valor mínimo de f em A ϭ ‫ ޒ‬.
Não admite valor máximo.
(f(x, y) у f(1, 1), ᭙(x, y) ʦ ‫ޒ‬2, logo, f(1, 1) é valor mínimo de f)

62

c Ϫ 3.

c) Seja f(x, y) ϭ xy e A ϭ {(x, y) ʦ ‫ޒ‬2 Ȋ x у 0 e y у 0}.
Para cada c real, a curva de nível correspondente a z ϭ c é xy ϭ c (hipérboles).
Se c ϭ 0 Þ x