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TRANSFORMADA DE
LAPLACE

Pierre Simon Laplace

CONCEITO DE VARIÁVEL COMPLEXA

A Teoria de sistema de controle clássico é baseado na aplicação de variáveis complexas e suas funções, desde que, as variáveis da
Transformada de Laplace s e Transformada-Z, z, sejam complexas.

jω

Componente Imaginário

s-plane

s1 = σ 1 + jω1

ω1

0

σ1

σ
Componente real

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Funções de Uma Variável Complexa
•

A função G(s) é dita ser uma função de uma variável complexa, s, se para todo valor de s, existir um ou mais valores correspondentes de G(s)

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Se s for definida com suas partes real e imaginária, a função G(s) também poderá ser representada pelas suas partes real e imaginária, isto é,

G ( s ) = Re G(s) + jIm G(s) jω Plano s

jIm G

s1 = σ 1 + jω1

ω1

0
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Plano G(s)

σ1

σ

Re G

0

G ( s1 )

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Pólos e Zeros de uma Função

Um primeiro questionamento de ordem teórica que pode ser feito é se todas as raízes do polinômio D(s) são pólos de G(s). Considere a seguinte função de transferência:

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Pólos e Zeros de uma Função

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Pólos e Zeros de uma Função

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Pólos e Zeros de uma Função

( s + 3)
G(s) =
( s + 1)( s + 2)

G(s) =

q (s ) = 0 ⇒

Polinômios Característicos

Pólos do Sistema

p (s ) = 0 ⇒

p( s) q( s)

Zeros do Sistema

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Pólos e Zeros de uma Função

1. Encontre os pólos e zeros da F.T abaixo:

( s + 2)( s + 10)
G(s) = s ( s + 1)( s + 5)( s + 15) 2

s = -2
Zeros ⇒ 
s = -10
Simples : s = 0, s = -1 e s = -5
Pólos ⇒ 
 Duplo : s = -15

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TRANSFORMADA DE LAPLACE
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No nosso curso de Circuitos II, vamos estudar a partir de agora uma ferramenta muito poderosa para a análise de circuitos;

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A T.L permite ao