Laplace

Transformada de Laplace
Nas aulas anteriores foi visto que as ferramentas matemáticas de Fourier (série e transformadas) são de extrema importância na análise de sinais e de sistemas LIT. Isto deve-se ao facto de que uma vasta classe de sinais pode ser representada como sendo a combinação linear de exponenciais complexas periódicas e de estas exponenciais serem funções próprias de sistemas LIT. A transformada de Fourier fornece uma representação de sinais como uma combinação linear de exponenciais complexas periódicas na forma est onde s = jω, ou seja s é puramente imaginário. No entanto a propriedade de est ser função própria mantém-se para valores arbitrários de s e não apenas para os puramente imaginários.

Transformada de Laplace

Assim, a transformada de Laplace não é mais do que uma generalização da transformada de Fourier.

As vantagens da transformada de Laplace sobre a trasformada de Fourier: fornece mais informação sobre sinais e sistemas que também podem ser analisados pela transformada de Fourier; - pode ser aplicada em contextos em que a transformada de Fourier não pode – por exemplo na análise de sistemas instáveis.
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Transformada de Laplace
A transformada inversa de Fourier era dada por:
1 x (t ) = X ( ω) e j ωt d ω ∫ 2π −∞
∞

Esta expressão indica que um sinal pode ser representado como uma combinação linear de exponenciais complexas periódicas, est onde s = jω. A transformada inversa de Laplace limita-se a generalizar este resultado para a forma:
1 x (t ) = X ( s ) e st ds 2π c −∫j ∞ c + j∞

Onde s é um complexo genérico:

s = σ + jω.

A variável s deixou de ser imaginária pura para ser complexa com parte real.

Transformada de Laplace c + j∞

1 x (t ) = X ( s ) e st ds 2π c −∫j ∞

As exponenciais complexas, que foram as funções elementares com as quais construímos os sinais em Fourier, deixam agora de ser exponenciais complexas periódicas. σ+ j ω) t e st = e( = eσt e j ωt

O factor e jωt foi já estudado e