sistemaLinearesFBV

Sistema de equações lineares

Caracterização
Um sistema de m equações a n variáveis é é chamado sistema de equações lineares. Ele tem a forma genérica seguinte:

a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + .... + a2 n xn = b2
............................................
am1 x1 + am 2 x2 + .... + amn xn = bm

Solução
Um conjunto de n valores (x1, ..., xn) verificando as equações do sistema é uma solução do sistema.
Um sistema cujo os valores dos coeficientes bn são iguais a 0 é um sistema homogêneo: a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n xn = 0

a21 x1 + a22 x2 + .... + a2 n xn = 0
............................................
am1 x1 + am 2 x2 + .... + amn xn = 0

Caracterização matricial
O sistema pode ser escrita sobre a forma de um produto de matrizes: onde as matrizes são definidas por:

Combinação linear
A combinação linear de equações é a soma dessas equações multiplicado por coeficientes reais: α1eq1+α2eq2+...+αneqn onde αi≠0, i∈{1,...,n} é uma combinação linear de eq1, eq2, ..., eqn.

Em relação com as variáveis envolvidas nas equações, uma equação linear, combinação linear entre as outras equações não introduz novas relações entre as variáveis.

Sistemas equivalentes
Num sistema de equações lineares independentes, se uma equação é trocada por uma combinação linear dela mesma e outras equações do sistema, o novo sistema é equivalente o primeiro. Os dois sistemas têm a mesma solução.
α1.eq1 + α 2 .eq2 + ... + α n eqn , α1 ≠ 0
eq1


eq2
eq
⇔ 2

...
...
eqn
eqn

Sistemas equivalentes
Num sistema, se uma equação é combinação linear das outras, ele é equivalente ao sistema sem essa equação:

α 2 .eq2 + ... + α n eqn
eq2


eq2
eq3
⇔


...
...
eqn
eqn

Equações e variáveis
Um sistema de m equações a n variaveis:
Tem uma solução unica se ele pode ser reduzido a um sistema de n equações independentes a n variáveis. Tem uma infinidade de soluções, se ele é equivalente a um sistema de m’ equações independentes com m’<n

Determinante
Um