Sistema dinamico

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Índice
5. Estabilidade de Sistemas Dinâmicos.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.

Introdução ...........................................................................................
Estabilidade de Liapunov .....................................................................
Estabilidade Estrutural .........................................................................
Linearização próximoà uma solução de equilíbrio ................................
Classificação dos pontos de equilíbrio ...................................................
5.5.1. O Oscilador Harmônico Amortecido .......................................
5.6. Ciclos Limites .......................................................................................
5.7. Método Direto de Liapunov.................................................................
5.8. A rotação livre de um corpo rígido articulado sem atrito no seu
centro de gravidade ..............................................................................

Apêndice A. Definições
Apêndice B. Sistemas Lineares e Não Lineares. O pêndulo.
Apêndice C. Programas.

5. Estabilidade dos Sistemas Dinâmicos.
5.1. Introdução.
As equaçõesdiferenciais que governam o movimento de sistemas dinâmicos
frequentemente são muito complicadas e geralmente não fornecem solução exata,
principalmente quando as equações são não lineares.
A teoria das equações diferenciais não lineares não é tão desenvolvida como das
equações diferenciais lineares. Em certas circunstâncias, é possível usar métodos da teoria
linear no estudo dos sistemas nãolineares examinando o comportamento na vizinhaça de
movimentos conhecidos, um processo conhecido como linearização.
Existem duas básicas aproximações para sistemas não lineares, o qualitativo e o
quantitativo. A aproximação qualitativa está ligada à característica geral do sistema na
vizinhança de uma solução conhecida, e a aproximação quantitativa está ligado à análise
das soluções obtidasatravés dos métodos de perturbação.
5.2. Estabilidade de Liapunov.
A análise de estabilidade de Liapunov nos fornece uma definição geométrica de
estabilidade de um estado de equilíbrio, sem considerações de energia, mas apenas as
propriedades topológicas do diagrama.
Assim, seja um sistema de equações diferenciais n-dimensional
x = F (x )

(5.2.1)

onde
x = (x1 , x 2 , ... , x n ). Suasolução é univocamente determinada pelas condições
iniciais, e suponha que seja dada por x = x(x 0 , t ) ,
cujo estado de equilíbrio seja
caracterizado por
F(x0 ) = 0
, x 0 = x(x 0 , t 0 )
então, temos as seguintes definições devido a Liapunov :
1. Uma determinada solução x(x e , t ) é estável no sentido de Liapunov se para qualquer
número
pequeno
ε>0
existe
um
número
δ = δ (ε ) > 0
talque:

x 0 − x e < δ (ε ) implica
x (x 0 , t ) − x ( x e , t ) < ε
t 0 ≤ t < ∞ . A solução
x = x(x 0 , t ) permanece todo o tempo, em um tubo fino em torno de x(x e , t ) no espaço
R n + 1 , desde que x 0 seja escolhido suficientemente próximo de x e .
2. A solução x(x e , t ) é instável se ela não é estável; no caso de instabilidade, sempre existe
algum ε > 0, e algum x 0 numa vizinhançaarbitrariamente pequena de x e , para o qual
x (x 0 , t ) deixa o tubo em qualquer momento. Neste caso, dizemos que a solução x e é
um repulsor ou uma fonte (“source”) .

3. A solução x(x e , t ) é assintóticamente estável se é estável no sentido de Liapunov e

lim x(x 0 , t ) − x (x e , t ) = 0 . Neste caso, o ponto fixo x e é um atrator. Pontos

satisfaz:

t →∞

fixos assintóticamenteestáveis são também chamados sorvedouros (“sinks”).
Das definições acima, nota-se que a estabilidade é uma dependência contínua e
uniforme das condições iniciais e são locais. Um ponto de equilíbrio é estável no sentido
que atrai soluções iniciais próximas a ele, mas pode não atrair soluções com condições
iniciais distantes. O conjunto de todas as possíveis condições iniciais que converge...
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