sequencias
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10/02/2014Sequências e séries infinitas
Representando sequências
• Uma sequência é uma lista de números em uma ordem determinada. • Esses são os termos da sequência.
• Uma sequência infinita de números é uma função cujo domínio é o conjunto de números inteiros positivos.
• Notação:
ou
Exemplos:
a)
c)
b)
d)
1
10/02/2014
Convergência e divergência
Definições: A sequência { } converge para o número L se quando n tende a infinito, se aproxima de L e escrevemos.
lim
=
→
Se nenhum L existir, dizemos que {
→ .
} diverge.
.
Exemplos:
Converge
Diverge
Definições: A sequência { } diverge ao infinito se quando n tende a infinito, cresce indefinidamente e escrevemos.
lim
→
= ∞
→ ∞.
A sequência { } diverge ao menos infinito se quando n tende a infinito, decresce indefinidamente e escrevemos.
lim
→
= −∞
→ −∞.
Exemplo:
2
10/02/2014
Calculando limites de sequências
Exemplos
1
=0
"
a) lim −
= −1. lim
b) lim
= lim 1 −
→
→
c) lim
→
→
→
= 5. lim
→
1
= 1 − 0 = 1
"
1
1
. lim = 5.0.0 = 0
" → "
4 7"%
4
− %
−7
"%
"
"%
= lim
= −7
= lim
%
3
→
→
% " + 3
1+ %
"
"
"% "%
"%
d) lim
→
3
10/02/2014
Observação:
Não vale a volta dos itens 1 e 2:
Diverge
= {1, 2, 3, 4, … }
+-
= {−1, −2, −3, −4, … }
= {0, 0, 0, 0, … }
Diverge
Converge
Isto é, se a soma de duas sequências converge nada podemos dizer das sequências que foram somadas
Exemplos
a)
1
./0
→ 0, pois − n ≤
b) 12 → 0, pois
c)
(
)2
0≤
cos "
1
≤
"
"
1
1
≤
2
"
1
→ 0, pois − n ≤
−1
"
≤
1
"
4
10/02/2014
Exemplos
a)
→1
Sabemos que
→ 1. Considere f x = > ? = 1. Logo,
" + 1
→ 1.
"
b) 2
/
→1
Considere
= ,
2
/
= 0 ? @ > = 2A . Logo,
1
→ @ 0 = 2B = 1
=@
"
Exemplos
a) Mostre que lim
CD
= 0.
→