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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática
Disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica
MATRIZES E CRIPTOGRAFIA
Muitas técnicas para codificar e decodificar mensagens secretas fazem vasto uso de álgebra linear. Aqui descrevemos um método bastante simples que envolve apenas um par de matrizes inversas, A e B = A-1, cujos elementos são todos inteiros. Primeiro ilustramos este método utilizando o par

⎡3 1⎤
A=⎢
⎥
⎣2 1⎦

e

⎡ 1 − 1⎤
B=⎢
⎥ , (1)
⎣− 2 3 ⎦

para o qual você pode verificar imediatamente que AB = BA = 1. O remetente vai usar uma matriz A para codificar a mensagem, e o destinatário vai usar a matriz B para decodificar a mensagem. O objetivo deste método é que a mensagem seja codificada utilizando pares de caracteres, de modo que tabelas de freqüência de letras e coisas do tipo não ajudem em nada a um decodificador não-amigável: aqui descrevemos um código em vez de um criptograma.
Dada uma mensagem para ser codificada, o primeiro passo é convertê-la da forma alfabética para a forma numérica. Para isso usamos a seguinte correspondência entre letras e números.
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z . , #
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Qualquer outra numeração dos 29 símbolos tipográficos também seria possível, mas o remetente e o destinatário teriam que combinar uma específica. Para maior clareza usamos o símbolo # , indicando um espaço entre as palavras (ou em outros lugares). Suponha que THE GAME IS A FOOT, que, em português seria algo como “O
PLANO ESTÁ EM AÇÃO”, é a mensagem a ser codificada e transmitida. Para convertê-la para forma numérica, usamos o pareamento exibido acima: escrevemos.
T
20

H
8

E
5

# G
29 7

A
1

M E # I S # A
13
5 29 9 19 29 1

F
6

O O T
15 15 20

Uma vez que a matriz codificadora A é uma matriz 2 x 2, arranjamos nossa seqüência de números como