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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

2

CAPÍTULO I
Seguem as sugestões de solução dos exercícios da lista 1.6. Observamos que em alguns exemplos existem mais de um caminho ou maneira para chegar à solução. Apresentamos somente uma opção.

SEÇÃO 1.6 – p. 10
1. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica. a) 3 − x < 5 + 3 x
− x − 3x< 5 − 3
− 4x < 2 4x > − 2 x >−2 4 x > −1 2

(−1 / 2 , + ∞)
1− x 1 3 + x+ 3 4 3 1− x 1 3 2x − x − < +5 4 3 3 24 x − 9 x − 4(1 − x ) 1 + 15 < 12 3 24 x − 9 x − 4 + 4 x 16 < 12 3 1 9 x − 4 16 < 12 3

b) 2 x − 5 <

3

1 9 x 16 4 < + 12 3 12 1 9 x 17 < 12 3 57 x < 204

x<

204 57 68 x< 19

(−∞ , 68 / 19)

c) 2 > − 3 − 3 x ≥ − 7

2 + 3 > − 3x ≥ − 7 + 3 5 > − 3 x ≥ −4 5 4 0 ⇒ 20 <3x ∴ x > 20 3 Solução 1° caso: (0, + ∞ )∩ (20 3 , + ∞ ) = (20 3 , + ∞ )

2° caso: x < 0 ⇒ 20 > 3x ∴ x < 20 3

4 Solução 2° caso:

(− ∞, 0 )∩ (− ∞, 20 3) = (− ∞, 0)

Solução final: (− ∞, 0 ) ∩ (20 3 , + ∞ ) ou x ∉ [0, 20 3]

e) x 2 ≤ 9

x2 − 9 ≤ 0 (x − 3)(x + 3) ≤ 0

1° caso: x −3≥0 x≥3

e

x +3≤0 x ≤ −3

Solução 1° caso: (− ∞, − 3] ∩ [3 + ∞ ) = o / 2° caso: x −3≤0 x +3≥0 e x≤3x ≥ −3 Solução 2° caso: (− ∞, 3] ∩ [− 3 + ∞ ) = [− 3, 3] Solução final: [− 3, 3]

f) x 2 − 3 x + 2 > 0

(x − 1) (x − 2) > 0 x ∉ [1, 2]

5

g) 1 − x − 2 x 2 ≥ 0 2x 2 + x − 1 ≤ 0

(x + 1) (2 x − 1) ≤ 0 x ∈ [− 1, 1 2]

h)

x +1 x < 2− x 3+ x

1° caso: 2−x>0 x0 x > −3

(− ∞, 2) ∩ (− 3, + ∞ ) = (− 3, 2)

(x + 1) (3 + x ) < x (2 − x )
3x + x 2 + 3 + x < 2 x − x 2 2 x 2 + 2 x + 3 <0 ⇒ não existe x que satisfaz

2° caso: 2−x>0 x 0 ⇒ x ∈ IR

6

Solução 2° caso: (− ∞, + ∞ ) ∩ (− ∞, − 3) = (− ∞, − 3) 3° caso: 2−x2 e 3+ x>0 x > −3

(− 3, + ∞ ) ∩ (2, + ∞ ) = (2, + ∞ )
2 x 2 + 2 x + 3 > 0 ⇒ x ∈ IR

(− ∞, + ∞ ) ∩ (2, + ∞ ) = (2, + ∞ )
4° caso: 2−x2 (2, + ∞ ) ∩ (− ∞ ,−3) = 0 / 3+ x x 2 + x

x3 − x2 − x + 1 > 0

(x − 1)2 (x + 1) > 0
Portanto, x +1> 0 ou x > 1.j) x 2 − 1 ( x + 4 ) ≤ 0

(

)

(x − 1) (x + 1) (x + 4) ≤ 0

7 1° caso: x −1≤ 0 x ≤1

,

x +1≤ 0 x ≤ −1

e

x+4≤0 x≤ −4

Solução: (−∞, − 4] 2° caso: x −1≥ 0 x ≥1 / Solução: 0

,

x +1≥ 0 x ≥ −1

e

x+4≥0 x≥ −4

3° caso: x −1≤ 0

x ≤1
Solução: [− 1, 1] 4° caso: x −1≥ 0

,

x +1≥ 0 x ≥ −1

e

x+4≥0 x≥−4

x ≥1 Solução: 0 /

,

x +1≥ 0 x ≥ −1

e

x+4≥0x ≤ −4

Solução final: (− ∞, − 4] ∪ 0 ∪ [− 1, 1] ∪ 0 = (− ∞, − 4] ∪ [− 1, 1] / /

k)

x+2 2 ≤ ≤1 x −2 x − 2 x>2

1° caso: x − 2 > 0 ⇒ 2 ≤ x + 2 ≤ (x − 2) 2−2≤ x≤ x −2−2 0≤ x≤ x−4 0 / 2 caso: x − 2 < 0 ⇒

x 0 ⇒

9

x < 4 ( x − 3) x < 4 x − 12 x − 4 x < − 12 − 3 x < −12 3 x < 12 x 4 ( x − 3) x > 4 x − 12 x − 4 x > − 12 − 3 x > −12 3 x > 12 x>4 Solução 2° caso: (− ∞, 3) Solução final:(− ∞, 3) ∪ (4, + ∞ ) x ∉ [3, 4]

n)

1 2x − 3 >1 4+x x >−4

1° caso: 4 + x > 0 ⇒ 1 x−3>4+x 2 1 x − x > 4 +3 2 1 − x>7 2 x < − 14

10

Solução 1° caso: 0 / 2° caso: 4 + x < 0 ⇒ x < − 4 1 x −3< 4+ x 2 1 x − x < 4 +3 2 1 x > −7 2 x > − 14 Solução 2° caso: (− 14, − 4) Solução final: (− 14, − 4)

o)

3 ≤2 x −5

1° caso: x − 5 > 0 ⇒ x > 5

3 ≤ 2 ( x − 5) 3 ≤ 2 x − 10 − 2 x ≤ −13 2 x ≥13 x ≥ 13 2
Solução 1° caso: [13 2 , + ∞ ] 2° caso: x − 5 < 0 ⇒ x < 5 3 ≥ 2 ( x − 5) x ≤ 13 2

11 Solução 2° caso: (− ∞, 5) Solução final: (− ∞, 5) ∪ [13 2 , + ∞ )

x ∉ [5 , 13 2)

p) x 3 − x 2 − x − 2 > 0

(x − 2) (x 2

+ x +1 > 0 x>2

)

x−2>0 ⇒

q) x 3 − 3 x + 2 ≤ 0

(x

2

− 2 x + 1 (x + 2) ≤ 0

)

(x − 1)2 (x + 2) ≤ 0
x + 2 ≤ 0 ⇒ x ≤ −2 Solução Final: (−∞ , − 2]∪ {1}

r)

1 3 ≥ x +1 x − 2

1° caso: x +1> 0 x > −1 e x−2>0 x>2 ou (2, + ∞ )

12

x − 2 ≥ 3 ( x + 1) x − 2 ≥ 3x + 3 x − 3x ≥ 3 + 2 − 2x ≥ 5 x ≤ −5 2
Solução 1° caso: 0 / 2° caso: x +1< 0 x < −1 x − 2 ≥ 3( x + 1) x ≤ −5 2 e x−2 −1 x − 2 ≤ 3( x + 1) x ≥ −5 2 Solução 3° caso: (− 1, 2 ) ° caso: x +1< 0 x < −1 e x−2>0 x>2 ou 0 / e x−2 3 2x − 5 > 3 2x > 3 + 5 2x > 8 x>4 ou 2x − 5 < − 3 2x...
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