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Sistemas Lineares
Introdução
Um cozinheiro decidiu preparar três tipos de guloseimas: bolos, panquecas e
biscoitos. Para preparar 1kg de massa de bolo, são necessárias três xícaras de
trigo, duas de açúcar e três ovos; para preparar 1kg de massa de panqueca
são necessárias três xícaras de trigo, uma de açúcar e dois ovos, e para
preparar 1kg de biscoito, são utilizadas quatro xícaras detrigo, duas de açúcar
e dois ovos. Mas, em sua dispensa, o cozinheiro dispõe apenas de 19 xícaras
de trigo, 9 xícaras de açúcar e 14 ovos. Os demais ingredientes das receitas
não lhe põem problemas, dado que ele os possui em quantidade necessária.
Calcule as quantidades em quilogramas de massa de bolo, massa de
panqueca e massa de biscoito que devem ser preparadas, de modo a utilizar
todos osovos, toda a farinha de trigo e todo o açúcar de que dispõe sem
desperdício e de acordo com as proporções das receitas.

Equação Linear
De um modo geral, denomina-se equação linear toda equação que pode ser
escrita na forma:
, na qual:
são as incógnitas;
são números reais chamados de coeficientes das incógnitas;
b é o termo independente.
Obs. As incógnitas

, geralmente aparecem como x,y, z, ...

 São exemplos de equações lineares:

 São exemplos de equações não lineares:

GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear

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FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES
Prof. Esp. Thiago Magalhães
A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números
reais ou ênupla

que, colocados respectivamente no lugar de

, tornam verdadeira a igualdade dada.Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se
equação linear homogênea.
Duas equações lineares são chamadas de equivalentes quando tem as
mesmas soluções em um mesmo conjunto universo.
Ex: Observe que as equações apresentadas a seguir são equivalentes, pois
admitem mesma solução.
e

, nesse caso podemos afirmar que o par ordenado

, é uma solução de ambasequações apresentadas.

Sistemas de Equações Lineares
Denomina-se sistema linear

o conjunto S de m equações lineares em n

incógnitas, que pode ser assim representado:

Exemplos:
É um sistema linear

nas incógnitas x e y.

É um sistema linear

nas incógnitas x, y e z.

Dizemos que

é solução de um sistema linear quando
é solução de cada uma das equações do sistema.

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Prof. Esp. Thiago Magalhães
Acompanhe os exemplos a seguir:
(5,1) é solução do sistema

, pois

(1,3,-2) é solução do sistema

.

, pois

Obs. Geometricamente cada equação do 1º sistema representa os pontos de
uma reta no plano, bem como, cada equação do 2º sistema representa os
pontos de um plano noespaço.

Matrizes Associadas a um Sistema Linear
Seja o sistema linear de m equações com n incógnitas:

A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:

A matriz

, na qual cada linha é formada,

ordenadamente, pelos coeficientes e termos independentes de cada equação é
denominada matriz completa do sistema.

A matriz

, formada pelos coeficientes ordenados de

cadaequação é denominada matriz incompleta do sistema.

Veja o exemplo a seguir:
Matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do
sistema.

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Em relação ao sistema:

a matriz incompleta é:

Matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando àmatriz incompleta
uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do
sistema.
Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

Consideremos ainda as seguintes matrizes-colunas associadas ao sistema:

Multiplicando-se a matriz incompleta pela matriz das incógnitas obtemos a
matriz dos termos independentes:

Dizemos que essa é a forma matricial do sistema linear....
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