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CONTROLE LINEAR

Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Prof. Dr. Paulo Sérgio da Silva pss@feb.unesp.br

Março / 2006

Sumário • • • • • • Introdução Métodos de Determinação de Modelos Matemáticos Método Analítico de Obtenção de Modelos Matemáticos Modelagem Analítica de Sistemas Dinâmicos Linearização de Modelos Representação de Modelos no Espaço de Estado

Março / 2006Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos

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Introdução • O objetivo da modelagem é determinar uma representação matematicamente tratável para um sistema físico. • A essa representação damos o nome de modelo. • Portanto, um modelo é uma idealização da realidade que retém suas principais característica e que é matematicamente tratável. • A modelagem é uma etapa importante no projeto de sistemas decontrole, posto que o êxito dessa tarefa dependerá do modelo criado para o sistema em questão. • A modelagem matemática de um sistema dinâmico é constituída por um conjunto de equações diferenciais que representam a dinâmica do sistema com precisão ou, pelo menos, de uma forma aceitável.
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos

Métodos para Determinação de Modelos Matemáticos •Existem dois métodos básicos de modelagem: 1) Modelagem Teórica (ou Analítica) Utiliza os princípios da física e da química para obter as equações diferenciais que regem o processo a ser modelado. 2) Modelagem Experimental (ou Empírica) Usa a observação direta dos dados operacionais do processo para obter as equações diferenciais que o descrevem. Geralmente, aplica-se uma sinal de entrada conhecidoe mede-se a saída correspondente.

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Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos

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Modelagem Analítica de Sistemas Dinâmicos Obtenção de Modelos Matemáticos de Sistemas • Um modelo matemático analítico de um sistema dinâmico é gerado em duas etapas:
1. Especificar o sistema e imaginar um modelo físico cujo comportamento se ajuste suficientemente bem ao comportamento dosistema real. Neste estágio, as simplificações são assumidas e as variáveis de entrada e saída escolhidas. 2. Derivar um modelo matemático para representar o modelo físico, isto é, escrever as equações dinâmicas do modelo físico. Para tanto, as leis físicas e/ou químicas apropriadas são aplicadas para gerar um conjunto de equações diferenciais ordinárias nas variáveis de entrada e de saída.

•Com o modelo matemático obtido analiticamente, pode-se estudar o comportamento dinâmico do sistema, através da solução das equações diferenciais que o descrevem e projetar estratégias de controle para obter-se o comportamento desejado.
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Março / 2006

Modelagem Analítica de Sistemas Dinâmicos Modelo Físico: do Sistema Real ao Modelo Físico • Um modelofísico representa um sistema físico imaginário que se assemelha ao sistema físico real em suas características mais importantes, mas que é mais simples (uma idealização) e, portanto, mais propício ao estudo. • A habilidade para simplificar a ponto de não invalidar o modelo é o ponto crucial em sua elaboração. • Os seguintes tipos de aproximação são possíveis:
– Desprezar pequenos efeitos; – Assumirque o ambiente em torno do sistema não seja afetado por ele; – Substituir características distribuídas por concentradas; – Assumir relações lineares de causa-e-efeito entre as variáveis físicas; – Assumir que os parâmetros físicos não variem com o tempo; – Desprezar incertezas e ruídos.
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Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosEquações Dinâmicas: do Modelo Físico ao Modelo Matemático



Para obter as equações dinâmicas de um processo, os seguintes passos devem ser seguidos: 1. Definição das variáveis de entrada e de saída; 2. Escrever as relações sistêmica (relações de equilíbrio ou de compatibilidade inter-elementos); 3. Escrever as relações constitutivas para cada elemento (são puramente empíricas) ; e 4....
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