Resumo

Capítulo 2

Os números inteiros
Intuitivamente, o conjunto Z dos números inteiros é composto pelos números naturais e pelos "negativos". Como justificamos de uma forma simples qual a origem dos números inteiros a partir dos naturais? A resposta é simples e o rigor excessivo para a demonstração é visto em Elementos de Lógica Matemática ao se estudar o tema relações de equivalência. Imagine o seguinte: Construa todos os pares ordenados compostos por números naturais. Em seguida, separe todos os pares ordenados em vários conjuntos de modo que (a, b) e (c, d) pertencem ao mesmo conjunto caso valha a + d = b + c". A figura a seguir representa esta ideia.

Note que os pares ordenados cuja reta formada por eles corta o eixo X no ponto 1, por exemplo, são (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), . . ., enquanto os cuja reta corta X no ponto 4 são (5, 1), (6, 2),
(7, 3), . . .
Formalmente falando, cada número inteiro será uma classe de equivalência segundo a relação de equivalência dada. Intuitivamente, cada número inteiro é um conjunto de pares ordenados de números naturais como a figura representa, ou seja, cada reta da figura está relacionada a um número inteiro.
De um modo muito mais simples, escrevemos Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} e usamos suas propriedades normalmente.
Considerando isto, podemos, em especial, notar que N ⊂ Z e existe uma correspondência
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biunívoca entre os conhecidos como inteiros positivos e os números naturais (uma discussão mais profunda sobre o que são números positivos e negativos será desenvolvida no apêndice deste material).

2.1

Operações em Z e suas propriedades

Já que a ideia da operação continua a mesma, comecemos invertendo a ordem, ou seja, vamos descrever as operações de adição e multiplicação a partir das novidades dentro do conjunto dos inteiros.
Neste novo conjunto, a adição, além das propriedades listadas anteriormente, ela ganha duas novas propriedades da adição:
• (A3 - Existência de