Resumo Vetores e Geometria Analítica
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Adição de Vetores+ : V3 x V3 → V3
Propriedades:
A1) Comutatividade
+
=
+
A2) Associatividade
+(
+
)=(
+
)+
A3) Vetor Nulo
+
=
A4) Vetor Oposto
+(
)=
Multiplicação de vetor por escalar
: ℝ x V3 → V3
Definição:
1) Se λ = 0 ou = , então λ :=
2) Se λ ≠ 0 ou ≠ , então λ é o vetor assim definido:
a) || λ || = | λ | . || || ;
b) λ // ;
c) se λ > 0 → λ e têm o mesmo sentido; se λ < 0 → λ e têm sentidos contrários;
Propriedades:
M1) 1. = ;
M2) ( λ . γ ) . = λ . ( γ .
M3) ( λ ± γ ) .
M4) λ . ( +
);
= λ. ±γ. ;
)=λ. +λ.
;
Vetores paralelos
Sejam
(lê-se
e
vetores não nulos. Então
é múltiplo escalar de
).
||
se, e somente se, Ǝ λ
ℝ tal que
=λ.
Dependência e independência linear
↔
≠ ↔
1) { } é L.D. ↔
=
{ } é L.I. ↔
2) { ,
} é L.D. ↔
= 0 tem solução não trivial;
= 0 tem solução trivial;
↔ um é combinação linear do outro ↔
+
= 0 tem solução não trivial ↔ as coordenadas de 1 e 2, com relação à
||
mesma base, são proporcionais;
{ , } é L.I. ↔ as coordenadas de e
3) {
,
╫
↔
+
= 0 tem apenas a solução trivial ↔
, com relação à mesma base, não são proporcionais;
} é L.D. ↔
,
linear dos demais ↔
,
+
{ , , } é L.I. ↔ , tem apenas a solução trivial.
4) {
, ... ,
forem coplanares ↔ um é combinação
,
+
,
= 0 tem solução não trivial.
não forem coplanares ↔
+
+
=0
} é L.D. , n > 3.
Interpretação Geométrica:
1) Se { } é L.D. , então gera apenas o vetor nulo;
Se { } é L.I., então gera retas.
2) Se {
Se {
,
,
} é L.D. , então
} é L.I. , então
3) Se {
Se {
,
,
,
,
e e geram retas; geram planos.
} é L.D. , então ,
} é L.I. , então ,
e e geram, no máximo, planos; geram o espaço.
Bases de V3
Definição: Chamamos de Base de V3 a todo conjunto L.I. de três vetores de V3.
Notação:
B ={
,
,
}.
Definição: Chamamos de base ordenada de V3 a toda terna