Quimica experimental

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Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

1° Período de Engenharia Mecânica

UNIVERSIDADE DE ITAÚNA

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA VETORIAL

Professora Maria Cristina Monteiro Castanheira

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Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

1° Período de Engenharia Mecânica

Vetores
1.1 Introdução O estudo dos vetores iniciou-se no final do século XIX. Eles constituem os instrumentosideais para o desenvolvimento de muitos conceitos importantes da Física e da Matemática. Existem basicamente três maneiras de se introduzir o estudo de vetores: geometricamente, analiticamente e axiomaticamente. No método geométrico, os vetores são representados por segmentos de reta orientados (setas) e as operações com eles são definidas geometricamente. No método analítico, os vetores ecorrespondentes operações são descritos em termos de números, chamados componentes dos vetores. A descrição analítica resulta naturalmente da descrição geométrica, desde que seja introduzido um sistema de coordenadas. No método axiomático não se faz qualquer tentativa para se descrever um vetor ou as operações algébricas com vetores. Neste caso, vetores e operações vetoriais são considerados conceitos nãodefinidos, relativamente aos quais sabe-se apenas que eles satisfazem um certo conjunto de axiomas. Um tal sistema algébrico, com axiomas apropriados, chama-se espaço vetorial. Em todos os ramos da Matemática se encontram espaços vetoriais e eles são apresentados em cursos de Álgebra Linear. Neste texto, inicialmente introduzimos vetores geometricamente. Depois, utilizamos o método analítico paraintroduzir outros conceitos.

1.2 Vetores Os vetores podem ser representados geometricamente como segmentos de reta orientados ou como flechas nos espaços bi e tridimensionais. A direção e o sentido da flecha especificam a direção e o sentido do vetor e o comprimento da flecha descreve sua magnitude. A cauda da flecha é chamada de ponto inicial do vetor e a ponta da flecha é o ponto final.Simbolicamente, denotamos vetores por letras minúsculas em negrito. Quando tratarmos de vetores, chamamos os números de escalares. Por enquanto, todos os nossos escalares serão números reais e serão denotados por letras minúsculas em itálico. Se o ponto inicial de um vetor v é A e o ponto final é B, então escrevemos

extremidade v = AB origem A

B

1.3 Eqüivalência de segmentos orientados Vetorescom o mesmo comprimento, direção e sentido, são ditos equivalentes. Como nós queremos que um vetor seja determinado somente pelo seu comprimento, direção e sentido, consideramos vetores equivalentes como sendo
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iguais mesmo quando estiverem localizados em posições diferentes. Se v e w são equivalentes, escrevemosv=w

1.4 Operações com vetores 1.4.1 Adição de vetores Definição: Sejam v e w dois vetores quaisquer. A soma de v com w é o vetor v + w determinado da seguinte maneira: posicione o vetor w de tal maneira que seu ponto inicial coincide com o ponto final do vetor v. O vetor v + w é representado pela flecha do ponto inicial de v ao ponto final de w.

O vetor de comprimento zero é chamado vetornulo ou vetor zero e denotado por 0. Definimos 0+v=v+0=v para cada vetor v. Como não há direção natural para o vetor nulo, concordamos que, dependendo do problema, o vetor nulo tem a direção e sentido que for mais conveniente. Se v é um vetor-nulo qualquer, então –v, o negativo de v, é definido como o vetor de mesma magnitude e direção de v mas de sentido oposto. Este vetor tem a propriedade v +(-v) = 0 O negativo de v tem o mesmo comprimento e a mesma direção de v, mas sentido oposto.

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1.4.2 Subtração de vetores Se v e w são dois vetores quaisquer então a diferença de w e v é definida por v – w = v + (-w) Para obter a diferença v – w sem construir –w, posicione v e w de tal modo que seus pontos...
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