Resolução de exercícios de cálculo

Função Logarítmica

Se log 2 = a e log 3 = b, determine o valor de log 5 em função de a e b.

Para resolver o problema proposto pela questão, devemos primeiramente lembrar das propriedades dos logaritmos. Sabendo que 5 é igual a 10⁄2 , temos que:

log_10⁡〖5= log_10⁡〖10⁄2〗 〗 .

Pela propriedade do quociente em logaritmos, é possível observar que:

“ Caso o logaritmo seja do tipo log a x/y, devemos resolvê-lo subtraindo o logaritmo do numerador na base a pelo logaritmo do denominador também na base a.

loga x/y = loga x – loga y ”.

Aplicando essa propriedade no logaritmo proposto pelo exercício, temos que:

log_10⁡〖10⁄2〗= log_10⁡〖10 〗- log_10⁡〖2 〗 .

Como o 〖 log〗_10⁡〖10 〗= 1, a equação acima se resume em:

log_10⁡〖10⁄2〗= 1 - log_10⁡〖2 〗

Como proposto no enunciado, substitui-se 〖 log〗_10⁡〖2 〗= a , logo:

log_10⁡〖10⁄2〗= 1 – a , ou seja:

log_10⁡〖5=1-a.〗

Resposta: 〖log〗_10⁡〖5=1-a.〗

Função Trigonométrica

2) Dada a função f(x)=(sen 2x)/(1-sen² x) , calcule seu período.

O primeiro passo para a resolução do exercício é lembrar de algumas equações da trigonometria:

sen 2x =2 .sen x .cos⁡x

cos² x+sen² x=1 , ou seja,

cos² x=1-sen² x

tg(x)=(sen x)/(cos x)

Substutindo na função proposta pelo exercício temos que :

f(x)=(2.sen x.cos⁡x)/(cos² x)

f(x)=(2.sen x)/(cos x)

f(x)=2 .(sen x)/(cos x)

f(x)=2 .tg(x)

Como por definição, sabemos que o período dá função tangente é π, finalizando assim o exercício.

Resposta: π

Limites

3) Fazendo o gráfico da função f(x)= tan⁡4x/x , e dando um “zoom” na direção do ponto onde o gráfico corta o eixo y, estime o valor de 〖 lim〗┬(x→0)⁡f (x)

Para começar a resolução do exercício é necessário lembrar que para x=0, a imagem da função (valor de y) não existe, uma vez que não existe divisão por 0, e é justamente onde se aplica a teoria dos