Resmat 2 - flexao assimetrica

Resistência dos Materiais II

Yshii
UnG Notas de Aula Resistência dos Materiais Yshii

3. Flexão Assimétrica.

Consideremos a figura abaixo uma seção onde não há simetria geométrica submetido a um carregamento que provoca tensão longitudinal sob as hipóteses já mencionadas e estabelecidas na teoria da flexão até aqui conduzida.

y z y cg dF = σx d A

z

x

Como não há carga axial por ser flexão pura os resultantes dos esforços serão dados por F ( x) = M y ( x) =

∫σ
A

x

dA = 0

∫

A

z σ x dA
A

M z ( x ) = − ∫ y σ x dA .

A tensão pode ser representada pela seguinte equação linear respeitando as hipóteses

σx = A y + B z + C

(3.1)

o qual, ao introduzirmos nas expressões de resultantes teremos, em primeiro lugar

F ( x ) = ∫ ( A y + B z + C ) dA = A ∫ ydA + B ∫ zdA + C ∫ dA .

Como os eixos y e z tem origem no centróide, e portanto, ∫ ydA =
C = 0.

∫ zdA = 0 , temos

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A expressão (3.1) se torna

σx = A y + B z.
Para segunda expressão da resultante temos

(3.2)

M y ( x) =

∫ z ( A y + B z ) dA =

A I yz + B I y

e para o ultimo resultante
M z ( x) = − ∫ y ( A y + B z ) dA = − A I z − B I yz .

Assim temos o sistema linear
A I yz + B I y = M y − A I z − B I yz = M z

cuja solução nos traz
− M z I y − M y I yz
2 I y I z − I yz

A= B=

M y I z + M z I yz
2 I y I z − I yz

.

Substituindo os valores acima em (3.2) obtemos
− M z I y − M y I yz Iy Iz − I
2 yz

σx =

⋅y +

M y I z + M z I yz
2 I y I z − I yz

⋅z

(3.3)

que é a expressão da tensão ao longo da seção considerada.

Observando que no eixo neutro ou linha neutra cuja definição é a reta na seção onde

σ x = 0 , temos, de (3.3)
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M y I z + M z I yz y = = tg β . z M z I y + M y I yz

(3.4)

A expressão (3.4) é nada mais do que o coeficiente angular da linha neutra na seção conforme a figura que se segue y M

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