Resmat 2 - flexao assimetrica

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Resistência dos Materiais II

Yshii
UnG Notas de Aula Resistência dos Materiais Yshii

3. Flexão Assimétrica.

Consideremos a figura abaixo uma seção onde não há simetria geométrica submetido a um carregamento que provoca tensão longitudinal sob as hipóteses já mencionadas e estabelecidas na teoria da flexão até aqui conduzida.

y z y
cg

dF = σx d A

z

x

Como não há cargaaxial por ser flexão pura os resultantes dos esforços serão dados por F ( x) = M y ( x) =

∫σ
A

x

dA = 0



A

z σ x dA
A

M z ( x ) = − ∫ y σ x dA .

A tensão pode ser representada pela seguinte equação linear respeitando as hipóteses

σx = A y + B z + C

(3.1)

o qual, ao introduzirmos nas expressões de resultantes teremos, em primeiro lugar

F ( x ) = ∫ ( A y + B z + C) dA = A ∫ ydA + B ∫ zdA + C ∫ dA .

Como os eixos y e z tem origem no centróide, e portanto, ∫ ydA =
C = 0.

∫ zdA = 0 , temos

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Resistência dos Materiais II

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A expressão (3.1) se torna

σx = A y + B z.
Para segunda expressão da resultante temos

(3.2)

M y ( x) =

∫ z ( A y + B z ) dA =

A I yz + B I y

e para o ultimo resultante
M z ( x) = − ∫ y ( A y + Bz ) dA = − A I z − B I yz .

Assim temos o sistema linear
A I yz + B I y = M y − A I z − B I yz = M z

cuja solução nos traz
− M z I y − M y I yz
2 I y I z − I yz

A= B=

M y I z + M z I yz
2 I y I z − I yz

.

Substituindo os valores acima em (3.2) obtemos
− M z I y − M y I yz Iy Iz − I
2 yz

σx =

⋅y +

M y I z + M z I yz
2 I y I z − I yz

⋅z

(3.3)

que é aexpressão da tensão ao longo da seção considerada.

Observando que no eixo neutro ou linha neutra cuja definição é a reta na seção onde

σ x = 0 , temos, de (3.3)
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M y I z + M z I yz y = = tg β . z M z I y + M y I yz

(3.4)

A expressão (3.4) é nada mais do que o coeficiente angular da linha neutra na seção conforme a figura que se segue
y M

Myβ

γ
Mz cg linha neutra

z

● todos os ângulos são positivos nos sentidos indicados. ● idem para os momentos fletores. Da figura acima, temos

tgγ = tgβ =

My Mz M y I z + M z I yz M z I y + M y I yz .

(3.5)

(3.6)

Definiremos como eixos principais de inércia os eixos Y e Z passando por centróide da seção e que I YZ = 0 . As equações (3.3) e (3.6) serão reduzidasrespectivamente a
− MZ MY ⋅Y + IZ IY

σx =
e

⋅Z

(3.7)

tgβ =

IZ ⋅ tgγ IY

com 13

tgγ =

MY . MZ

(3.8)

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Note que o ângulo γ , no atual estágio, se refere aos eixos principais de inércia. Para calcular M Y e M Z , momentos fletores em relação ao eixos principais,

basta notar que a transformação ocorreu na rotação α dos eixos em torno docentróide sem nenhuma translação. As equações de transformação dos eixos são dadas pelas
y = Y cos α + Z sin α z = − Y sin α + Z cos α

(3.9)

e
Y = y cos α − z sin α Z = y sin α + z cos α

(3.10)

conforme a figura que se segue

y Y P Z y R Q α z z O U S Y
.

T

Z

V

As expressões em (3.9) são tirados dos triângulos ∆PQR e ∆QSO e em (3.10) pelos ∆TVO e ∆PTU. Seguindo adefinição, os momentos principais de inércia serão dados por

IY =

∫Z

2

dA =

∫ ( y sin α

+ z cos α ) 2 dA

I Z = ∫ Y 2 dA = ∫ ( y cos α − z sin α ) 2 dA

(3.11)

I YZ =

∫ Y Z dA = ∫ ( y cos α
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− z sin α ) ⋅ ( y sin α + z cos α ) dA .

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Yshii

Lembrando que
sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α

a integração de(3.11) nos leva a
Iz + Iy Iy − Iz + cos 2α + I yz ⋅ sin 2α 2 2 Iz + Iy 2 Iy − Iz 2

IY =

(3.12a)

IZ =



cos 2α − I yz ⋅ sin 2α

(3.12b)

I YZ =

Iz − Iy sin 2α + I yz ⋅ cos 2α . 2

(3.12c)

Impondo a condição de que os eixos Z e Y sejam eixos principais de inércia temos pela definição I YZ = 0 , e portanto
sin 2α =0 2

I yz cos 2α + ( I z − I y )

o que nos leva a...
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