Relações

Universidade Tecnol´gica Federal do Paran´ o a
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Algebra
Licenciatura em Matem´tica - 2013-2. a Prof. Josimar da Silva Rocha

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LISTA DE EXERC´
ICIOS SOBRE RELACOES
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1) Seja A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 9}. Enumerar os elementos das seguintes rela¸oes c˜ R1 = {(x, y) ∈ A × B | y = x + 1} e R2 = {(x, y) ∈ A × B | x ≤ y}. Dizer qual ´ o e dom´ ınio, a imagem e a inversa de cada.
2) A ´ um conjunto com 5 elementos e R = {(0, 1); (1, 2); (2, 3); (3, 4)} ´ uma rela¸˜o sobre e e ca A. Pede-se obter:
I) os elementos de A;
II) dom´ ınio e imagem de R;
III) os elementos, dom´ ınio e imagem de R−1 ;
IV) os gr´ficos de R e de R−1 . a 3) Seja R = {(x, y) | x ∈ R, y ∈ R, 4x2 + 9y 2 = 36}. Achar:
(1) o dom´ ınio de R;
(2) a imagem de R;
(3) R−1 .
4) Seja R a rela¸ao nos n´meros N∗ = {1, 2, 3, · · · } definida pela senten¸a aberta “ 2x+y = c˜ u c 10”, isto ´, seja R = {(x, y) | x ∈ N∗ , y ∈ N∗ , 2x + y = 10}. e Achar:
(1) o dom´ ınio de R, (2) a imagem de R, (3) R−1 .
5) Sejam A e B dois conjuntos com m e n elementos, respectivamente. Calcular o n´mero u de elementos de A × B e o n´mero de rela¸˜es de A em B. u co
6) Seja R a rela¸ao em A = {1, 2, 3, 4, 5} tal que: c˜ xRy ⇔ {x − y ´ m´ltiplo de 2}. e u
Enumerar os elementos de R. Que propriedades R apresenta ?
7) Representar graficamente as seguintes rela¸oes em A = {a, b, c, d} : c˜ (a) R1 = {(a, a), (a, b), (b, c), (c, b), (c, c), (d, d)};
(b) R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, c), (c, b), (a, d), (d, a)}.
Que propriedades R1 e R2 apresentam ?
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Lista de Exerc´ ıcios de Algebra

Prof. Josimar da Silva Rocha

8) Determinar todas as rela¸˜es bin´rias sobre o conjunto A = {a, b}. co a
Quais s˜o reflexivas ? E sim´tricas ? E transitivas ? E anti-sim´tricas ? a e e 9) Seja A = {1, 2, 3}. Considerem-se as seguintes rela¸˜es sobre A : co R1 = {(1, 2); (1, 1); (2, 2); (2, 1); (3, 3)}
R2 = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (1,