Relações - matemática

Reflexividade, simetria e transitividade
Desidério Murcho
Universidade Federal de Ouro Preto, Departamento de Filosofia

Reflexividade
R é uma relação reflexiva se, e só se, ∀x Rxx. Ou seja, uma relação é reflexiva quando todas as coisas estão nessa relação consigo mesmas. Por exemplo, a relação «ter o mesmo peso que» é reflexiva.
R é irreflexiva se, e só se, ∀x ¬Rxx. Ou seja, uma relação é irreflexiva quando nenhuma coisa está nessa relação consigo mesma. Por exemplo, a relação de paternidade é irreflex‐ iva porque ninguém é pai de si mesmo.
R é não reflexiva se, e só se, ¬∀x Rxx ∧ ¬∀x ¬Rxx, isto é, se não é reflexiva nem irreflexi‐ va. Ou seja, uma relação é irreflexiva quando algumas coisas estão nessa relação consigo mesmas e outras não. Por exemplo, a relação de crítica é não reflexiva porque algumas pessoas exercem a autocrítica, mas outras preferem restringir o domínio de objectos a cri‐ ticar aos outros, aparentemente para garantir a reflexividade do respeito, mas arriscando‐ se assim a perder a sua simetria.

Simetria
R é uma relação simétrica se, e só se, ∀x ∀y (Rxy → Ryx). Ou seja, uma relação entre duas coisas é simétrica quando ambas estão nessa relação entre si. Por exemplo, a relação «ser irmão de» é simétrica: se João é irmão de Pedro então Pedro é irmão de João. Mas a re‐ lação «ser filho de» não é simétrica, dado que Bruto é filho de César mas César não é filho de Bruto.
R é assimétrica se, e só se, ∀x ∀y (Rxy → ¬Ryx). Ou seja, uma relação entre duas coisas é assimétrica quando o facto de a primeira estar nessa relação com a segunda implica que a segunda não está nessa relação com a primeira. Por exemplo, a relação «ser filho de» é assimétrica: se Bruto é filho de César, então César não é filho de Bruto.
R é não simétrica se, e só se, ¬∀x ∀y (Rxy → Ryx) ∧ ¬∀x ∀y (Rxy → ¬Ryx), isto é, se não é simétrica nem assimétrica. Ou seja, uma relação é não simétrica quando algumas coisas
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