Quadricas

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Curso de Graduação em Engenharia de Produção

Quádricas

Anna Cristina Silva Dutra

Belo Horizonte, 09 de Maio de 2015
Introdução
Quádrica ou superfície quádrica é, em matemática, conjunto dos pontos do espaço tridimensional cujas coordenadas formam um polinômio de 2º grau de no máximo três variáveis denominada de equação cartesiana da superfície: 1. Superfícies:
Seja a equação de 2º grau a três variáveis Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0, onde A, B, C, D, E, F, G, H, I e J são constantes reais tais que A, B, C, D, E, ou F é diferente de zero, e x, y, z são variáveis reais.
Numa visão informal, as superfícies quadráticas são as regiões formadas quando as cônicas se movimentam no espaço. A partir da equação geral do segundo grau nas três variáveis x,y,z é possível representar uma superfície quadrática. Observemos que se a superfície quadrática formada pela equação geral for cortada por um plano, a curva de interseção será uma cônica.
2. Superfícies Esféricas:

A superfície esférica S de centro C e raio r > 0 é o lugar geométrico dos pontos do espaço que mantém a distância r de C. Sendo e C = então d(P,C) = r, ou seja, a equação implícita de S é:

Se aproximarmos um plano de uma superfície esférica de modo que este toque a superfície em apenas um ponto Pt, este ponto é chamado ponto de tangência onde é válido:

Porém, se o plano tocar a superfície em mais de um ponto, então o plano é secante à superfície, o que acontece sempre que .
3. Superfície Cilíndrica:
Uma superfície é dita cilíndrica se existir uma curva C e uma reta r tais que a superfície seja a união de retas paralelas a r que passem por C. C é chamada diretriz da superfície S e as retas paralelas a r são geratrizes de S.
Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.
4. Superfície Cônica:
Uma superfície S é dita cônica se ela for formada a partir de uma curva C e um ponto