Quadricas

Introdução

A equação acima é a equação geral do segundo grau nas três variáveis x, y e z. O lugar geométrico de uma destas equações (ou seja, a totalidade dos pontos P do espaço tridimensional cujas coordenadas cartesianas x, y e z satisfazem a equação) é uma superfície quádrica, às vezes também denominada conicóide. As quádricas que apresentamos nestas páginas são as não-degeneradas, ou seja, o elipsóide, os hiperbolóides e os parabolóides, em analogia total com o estudo bidimensional, no Cálculo IA, das curvas planas denominadas cônicas. Uma exigência básica sobre a equação acima é que pelo menos um dos coeficientes A, B, …, F seja não nulo pois, no caso em que todos estes coeficientes são nulos, a equação nem sequer é de segundo grau (e representa um plano, ou até mesmo um ponto no espaço, como sabemos). Também eliminamos os casos triviais do tipo x2  x = 0, que equivale a x(x  1) = 0 e portanto às duas equações x = 0 e x = 1, que representam dois planos paralelos ao plano y z. Para obter as quádricas não-degeneradas a partir desses seis coeficientes não todos nulos, bem como dos restantes quatro a, b, c e d, calculam-se os invariantes da equação, que são números dados em termos de determinantes e traços de certas matrizes formadas com estes dez coeficientes. Estes invariantes nos permitem classificar todas as equações de segundo grau em três variáveis; a dedução desta classificação não será vista, mas aqui pode ser encontrada a tabela de classificação da equação geral do segundo grau nas três variáveis x, y e z em termos dos invariantes. Cada uma das quádricas obtidas na classificação tem uma equação-padrão e é a partir desta que apresentamos a visualização das quádricas

Quádricas

A equação-padrão do elipsóide é

sendo convencionado que os parâmetros a, b e c são todos positivos. Estes parâmetros são os semi-eixos das três elipses obtidas no corte do elipsóide pelos planos coordenadosz = 0, y = 0 e x = 0,