quadricas historia

Superfícies[editar | editar código-fonte]
Numa visão informal, as superfícies quadráticas são as regiões formadas quando as cônicas se movimentam no espaço. A partir da equação geral do segundo grau nas três variáveis x,y,z é possível representar uma superfície quadrática.

Observemos que se a superfície quadrática formada pela equação geral for cortada por um plano, a curva de interseção será uma cônica.

Superfície Esférica[editar | editar código-fonte]
A superfície esférica S de centro C e raio r > 0 é o lugar geométrico dos pontos do espaço que mantém a distância r de C. Sendo P = (x,y,z) \in S\, e C = (x_o,y_o,z_o)\, então d(P,C) = r, ou seja, a equação implícita de S é:

(x - x_o)^2 + (y - y_o)^2 + (z - z_o)^2 = r^2\,

Se aproximarmos um plano \pi\, de uma superfície esférica de modo que este toque a superfície em apenas um ponto Pt, este ponto é chamado ponto de tangência onde é válido:

\pi \cap S = \{ Pt \}\,

\overline {C \ Pt } \perp \pi\,

d(C, \pi) = r\,

Porém, se o plano \pi tocar a superfície em mais de um ponto, então o plano é secante à superfície, o que acontece sempre que d(C, \pi) < r\,.

Superfície Cilíndrica[editar | editar código-fonte]
Uma superfície é dita cilíndrica se existir uma curva C e uma reta r tais que a superfície seja a união de retas paralelas a r que passem por C. C é chamada diretriz da superfície S e as retas paralelas a r são geratrizes de S.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

Superfície Cônica[editar | editar código-fonte]
Uma superfície S é dita cônica se ela for formada a partir de uma curva C e um ponto V não pertencente a C tal que S é a união das retas VQ, onde Q percorre C.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

Superfície de Rotação[editar | editar código-fonte]
Uma superfície S é uma superfície de rotação se existem uma reta r e uma curva C tal que S é a união das circunferências com