Quadri-dimensional

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Conforme comentei com vocês, acabo de preparar esse material na tentativa de contribuir para a compreensão de vocês da matéria de Físico-Química. Para isso, tentarei explicar alguns aspectos relacionados a derivadas e integrais da maneira o mais simples possível. Vejam bem, não é uma aula de Matemática; eu não sou preparado para isso. Mas, é uma tentativa de expor, da maneira mais simples e atégrosseira possível, alguns aspectos que são importantes para vocês compreenderem a Físico-Química.

1) DERIVADA Vamos falar um pouco sobre como fazer a derivada de uma função As derivadas que temos utilizado durante nossa disciplina são bem simples. Envolvem sempre a derivada de uma função f do tipo: f = k.xn, em que k é uma constante. Nesses casos, a derivada df/dx (muitas vezes representada porf’) é dada por: f' = knx(n-1) Exemplos: - se f = 2x, k = 2 e n = 1; logo, f’ = 2x0 = 2; - se f = 3x2, k = 3 e n = 2; logo, f’ = 3.2.x1 = 6x - se f = 2x3, k = 2 e n = 3; logo, f’ = 2.3.x2 = 6x2 - se f = 4, k = 4 e n = 0; logo, f’ = 4.0.x-1 = 0 (derivada de uma constante é zero) - se f = 3x-2, k = 3 e n = -2; logo, f’ = 3.-2.x-3 = -6/x3

Por que derivar? Vou usar propriedades físicas bem simples,para facilitar o entendimento. Peguemos a velocidade. Eu acho que todos entendem claramente que, para um carro em velocidade constante, o cálculo da velocidade (v) é feito dividindo-se a distância percorrida (∆p) pelo intervalo de tempo gasto para isso (∆t).

v=

∆p ∆t

(eq. 1)

Para um carro a velocidade constante, o gráfico da posição (p) em função do tempo t é algo do tipo:

Gráfico1.
20

16

p (m)

12

8

4

0 0 2 4 6 8 10

t (s)

Para qualquer intervalo de tempo que vocês pegarem, a velocidade encontrada será a mesma: 2 m/s. E, vocês conseguem perceber que a velocidade corresponde à inclinação da reta? Quem não enxergou isso ainda, basta lembrar que, para calcular a tangente de um ângulo (que é a inclinação), basta dividir o cateto oposto pelo adjacente.No caso, o cateto oposto equivale ao ∆d e o adjacente, ao ∆t. Gráfico 2.
20

16

p (m)

12

8

∆d

4

∆t
0 0 2 4 6 8 10

t (s)

A questão, agora, é: e se a velocidade variasse, como no caso de uma pedra que seja largada do alto de um edifício? Para essa pedra, o gráfico do deslocamento é dado pelo gráfico abaixo: Gráfico 3.

400

p (m)

300

200

100

0 0 2 4 6 810

t (s)
Nesse caso, a velocidade aumenta continuamente (a pedra está exposta à aceleração da gravidade), ou seja, para cada instante, a velocidade é diferente. Basta notar que a inclinação do gráfico (que corresponde à velocidade, conforme já discutido) aumenta ponto a ponto. Pois bem, a inclinação de uma curva é dada pela derivada da função. Esse é o papel da derivada: calcular a inclinaçãoda curva representada pela função que se está derivando.

Tomemos como exemplo os casos acima: a) No caso do carro, a posição em função do tempo é descrita pela equação: p = v. t = 2. t (movimento retilíneo uniforme). Portanto, a derivada da função posição em relação à variável t (que corresponde à velocidade em cada ponto) é:

dp = 2.t(1-1) = 2 dt
(perceba que k = 2 e n = 1). b) No caso dapedra caindo, a posição p é dada por: p = 5t2 (movimento retilíneo uniformemente variado).

dp = 5.2.t ( 2−1) = 10t dt
(perceba que k = 5 e n = 2) Ou seja, a velocidade depende do instante t, conforme já adiantamos. Quando a pedra é largada (t = 0), v é 0; no instante t = 1 s, a velocidade já é de 10 m/s e segue aumentando. Um gráfico de Gráfico 4.
100

dp = v em função do tempo é mostradoabaixo: dt

v (m/s)

80

60

40

20

0 0 2 4 6 8 10

t (s)
Pois bem, isso é o que nós fizemos em nossas aulas, só com outras propriedades.

Ainda com relação às derivadas, duas regras que nós também utilizamos foram a regra da adição e a regra do produto de duas funções:

d ( χ + φ ) dχ dφ = + dx dx dx
(a derivada de uma soma de funções é igual à derivada da primeira mais a...
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