Prova1 Eng 2007

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC
ˆ
´
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
EXATAS E TECNOLOGICAS
- DCET
˜ - ALGEBRA
´
1a AVALIAC
¸ AO
LINEAR- 10/10/2007
´
P rof a CLAUDIA
SANTANA

1. Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10m2 140g de nitrato, 190 g de fosfato e 205 g de pot´assio.
Disp˜oe-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes caracter´ısticas:

(a) Cada quilograma de adubo I custa 5 u.c.p e cont´em 10 g de nitrato, 10 g de fosfato e 100 g de pot´assio. (b) Cada quilograma de adubo II custa 6 u.c.p e cont´em 10 g de nitrato, 100 g de fosfato e 30 g de pot´assio. (c) Cada quilograma de adubo III custa 5 u.c.p e cont´em 50 g de nitrato, 20 g de fosfato e 20 g de pot´assio. (d) Cada quilograma de adubo IV custa 15 u.c.p e cont´em 20 g de nitrato, 40 g de fosfato e 35 g de pot´assio. Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar 54 u.c.p. a cada 10 m2 com a aduba¸c˜ao?

2. Em cada item a seguir, classifique as afirma¸c˜oes em verdadeiras ou falsas. Mostre caso a afirma¸c˜ao seja verdadeira ou dˆe um contra-exemplo, caso a afirma¸c˜ao seja falsa.
Considere An (F ) , Bn (F ) e Pn (F ) onde

F = R ou C .

(a) Se det(A) = 1 ent˜ao A−1 = A.
(b) Se A ´e uma matriz triangular, ent˜ao det(A) = a11 + · · · + ann .
(c) det(kA) = k n · det(A), k ∈ F ´e uma constante.
(d) Se A2 = A, e A = In ent˜ao det(A) = 0.
(e) det(A + B) = det(A) + det(B).
(f) Se B = P −1 AP ent˜ao det(B) = det(A).

1

3. Dado o sistema a seguir:

x + y + z − 2w

= −4

2y + z + 3w

=

4

2x + y − z + 2w

=

5

x−y+w

=

4

Determine:
(a) se o sistema ´e poss´ıvel e determinado, imposs´ıvel ou poss´ıvel e indeterminado.
0

1

1

B
B
B 0
(b) o determinante da matriz B
B
B 2
@

1

1

2

1

1

−1

1 −1

−2

C
C

3 C
C.
C
2 C
A

0

1

4. Dado o sistema linear
8
>
3x + 5y + 12z − w
>
<
>
>
:

=

−3

x + y + 4z − w

=

−6

2y + 2z + w

=

5

(a) Discuta a solu¸c˜ao do sistema.
(b) Acrescente a equa¸c˜ao 2z + kw = 9 a este sistema, encontre