Prova ita 2012

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NOTAÇÕES
N : conjunto dos números naturais
R : conjunto dos números reais
R+ : conjunto dos números reais
não-negativos

arg z : argumento do número
complexo z
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
A B = {x : x ∈ A e x ∈ B }
/

i : unidade imaginária; i2 = −1

AC : complementar do conjunto A

P (A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjuntofinito A
AB : segmento de reta unindo os pontos A e B


AB : arco de circunferência de extremidades A e B
n
k=0

ak xk = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn , n ∈ N

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Questão 1. Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10
centavos. Então, o número de diferentes maneiras em quea moeda de 25 centavos pode ser trocada é
igual a
A ( ) 6.
B ( ) 8.
C ( ) 10.
D ( ) 12.
E ( ) 14.
Questão 2. Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores
disparam simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez é igual a
2
1
4
5
2
A( ) .
B( ) .
C( ) .
D( ) .
E( ) .
9
3
9
9
3
Questão 3. Sejam z = n2 (cos45◦ + i sen 45◦ ) e w = n(cos 15◦ + i sen 15◦ ), em que n é o menor inteiro
z
positivo tal que (1 + i)n é real. Então,
é igual a
w√


A ( ) 3 + i.
B ( ) 2( 3 + i).
C ( ) 2( 2 + i).


D ( ) 2( 2 − i).
E ( ) 2( 3 − i).
π
, então um valor para arg(−2iz ) é
4
π
π

B( ) .
C( ) .
D( )
.
4
2
4

Questão 4. Se arg z =
π
A( )− .
2

1

E( )


.
4

Questão 5.Sejam r1 , r2 e r3 números reais tais que r1 − r2 e r1 + r2 + r3 são racionais. Das afirmações:
I · Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional;

II · Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional;

III · Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais,

é (são) sempre verdadeira(s)
A ( ) apenas I.

B ( ) apenas II.

D ( ) apenas I e II.

C ( ) apenas III.

E ( ) I , II e III .√
Questão 6. As raízes x1 , x2 e x3 do polinômio p(x) = 16 + ax − (4 + 2)x2 + x3 estão relacionadas
pelas equações:

x3
x 1 + 2x 2 +
= 2 e x1 − 2x2 − 2x3 = 0
2
Então, o coeficiente a é igual a



A ( ) 2(1 − 2).
B ( ) 2 − 4.
C ( ) 2(2 + 2).


D ( ) 4 + 2.
E ( ) 4( 2 − 1).
Questão 7. Sabe-se que (x + 2y, 3x − 5y, 8x − 2y, 11x − 7y + 2z ) é uma progressão aritmética com oúltimo termo igual a −127. Então, o produto xyz é igual a
A ( ) −60.
B ( ) −30.
C ( ) 0.
D ( ) 30.
E ( ) 60.

Questão 8. Considere um polinômio p(x), de grau 5, com coeficientes reais. Sabe-se que −2i e i − 3
são duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo-se p(x) pelo polinômio q (x) = x − 5 obtém-se

resto zero e que p(1) = 20(5 + 2 3). Então, p(−1) é igual a



A ( )5(5 − 2 3).
B ( ) 15(5 − 2 3).
C ( ) 30(5 − 2 3).


D ( ) 45(5 − 2 3).
E ( ) 50(5 − 2 3).

3
1
Questão 9. Um triângulo ABC tem lados com medidas a =
cm, b = 1 cm e c = cm. Uma
2
2
circunferência é tangente ao lado a e também aos prolongamentos dos outros dois lados do triângulo,
ou seja, a circunferência é ex-inscrita ao triângulo. Então, o raio da circunferência, em cm, é iguala



3+1
3
3+1
A( )
.
B( )
.
C( )
.
4
4
3


3
3+2
D( )
.
E( )
.
2
4

2

Questão 10. Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do
baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a



97
109
5
10
5
B( )
.
C( )
.
D( )
.
E( ) .
A( ) .
3
3
3
3
3
Questão 11. A área doquadrilátero definido pelos eixos coordenados e as retas r : x − 3y + 3 = 0 e
s : 3x + y − 21 = 0, em unidades de área, é igual a
19
25
27
29
A( ) .
B ( ) 10.
C( ) .
D( ) .
E( ) .
2
2
2
2
Questão 12. Dados os pontos A = (0, 0), B = (2, 0) e C = (1, 1), o lugar geométrico dos pontos que
se encontram a uma distância d = 2 da bissetriz interna, por A, do triângulo ABC é um par de retas...
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