Prova Com Gabarito Calculo E Fisica 2013

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
CÁLCULO – PROVA DE TRANSFERÊNCIA FACULTATIVA E PARA
PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 02/12/2012
Candidato:_________________________________________________________
Curso Pretendido: __________________________________________________
OBSERVAÇÕES:

01 – Prova SEM consulta
02 – A prova PODE ser feita a lápis
03 - PROIBIDO o uso de calculadoras e similares
04 - Duração: 2 HORAS

1a Questão (10 pontos):
( x 2  1) ( x  4 )
a) Determine o valor de c para que a função dada por f ( x)  satisfaça a cx2 igualdade f (1)  f (2) .
b) Para o valor da constante c obtida no item anterior, determine todos os valores de x para os quais f ( x)  0 .
SOLUÇÃO

a) f 1 

10
30
e f 2  c2 2c  2

Igualando:

10
30

 20c  20  30c  60  c  2 2c  2

b) Devemos resolver a inequação:

c  4

( x 2  1) ( x  4 )
0
2  4x

x2 1

+++++++++++++++++++++++++++++

x

x4

----------- ++++++++++++++++++++
++
4

x

2  4x

+++++++++++++++++ ----------------

x

1
2

f x 

----------- +++++++++ --------------1
4

x

2

Portanto o Conjunto-Solução da inequação é:

1

S  x   /  4  x  
2


2a Questão (10 pontos): As retas tangentes ao gráfico da função f x   x 3  4 x 2  5x  7 pelos pontos x  1 e x  3 são concorrentes num ponto P. Encontre as coordenadas desse ponto.

SOLUÇÃO
A equação da reta tangente ao gráfico da função f x  pelo ponto x0 , y0  é:

y  y0  f x0 
. x  x0 
Temos: f x   3x 2  8x  5


Para x0  1  y0  5 

f 1  0

Assim, a reta tangente é: y   5  0.x  1  y  5


Para x0  3  y0  1 

f 3  8

Assim, a reta tangente é: . y   1  8.x  3  y  8x  25
Para encontrar o ponto P, basta igualar as equações das retas, ou seja:
8 x  25  5  8 x  20  x 

Portanto:

5
2

5

P ,5 
2


3a Questão (10 pontos): Usando Integração Por Partes, resolver a integral I   arctgx.dx .

SOLUÇÃO
O método de Integração por Partes é:  u.dv  u.v   v.du
1

u  arctgx 