prova calculo 3

GABARITO
(1º Exercício Escolar – 2ª Parcial )
1º) Seja ‫ ݑ = ݖ‬+ ‫ ݒ‬ଶ ܿ‫)ݑ(ݏ݋‬, ‫ ݔ = ݑ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ e ‫ ݔ = ݒ‬െ ‫ݒ‬. Então, podemos afirmar que ݀‫ݖ‬/݀‫ ݔ‬é:

݀‫ݒ݀ ݖ݀ ݑ݀ ݖ݀ ݖ‬
=
+
= (1 െ ‫ ݒ‬ଶ ‫())ݑ(݊݁ݏ‬2‫ )ݔ‬+ ൫2‫)ݑ(ݏ݋ܿݒ‬൯(1) = 2‫(ݔ‬1 െ (‫ ݔ‬െ ‫)ݕ‬ଶ ‫ ݔ(݊݁ݏ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ )) + 2(‫ ݔ‬െ ‫ ݔ(ݏ݋ܿ)ݕ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ )
݀‫ݔ݀ ݒ݀ ݔ݀ ݑ݀ ݔ‬

Letra c)
2º) Determine a derivada direcional de ݂(‫ݔ‬, ‫ ݔ = )ݕ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ െ 4‫ݔ‬, no ponto (1, െ1), na direção do vetor ‫= ݒ‬
2݅ + 4݆.
1 2
1 2
6
‫ܦ‬௨ ݂(1, െ1) = (2‫ ݕݔ‬ଶ െ 4 , 2‫ ݔ‬ଶ ‫ )ݕ‬ή ൬
, ൰ = (െ2, െ2) ή ൬
, ൰=െ ξ5 ξ5 ξ5 ξ5 ξ5 Letra b)
3º) Dada a função ݂(‫ݔ‬, ‫ = )ݕ‬4‫ ݕݔ‬െ 2‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ସ , e as afirmativas:

I - Os pontos (1,1) e (-1,-1) são os únicos pontos críticos Falso, pois (0,0) também é ponto crítico!
II - O ponto (1,1) é ponto de máximo local e que (-1,-1) é ponto de mínimo local Falso, pois (-1,-1) é máximo local.
III - O ponto (1,1) é ponto de mínimo local e que (-1,-1) é ponto de máximo local Falso, pois (1,1) é máximo local.
IV - Os pontos (1,1) e (-1,-1) são ambos mínimos locais Falso, pois ambos são máximo local.
݂௫௫ (‫ݔ‬, ‫ = )ݕ‬െ4
݂௫௬ (‫ݔ‬, ‫ = )ݕ‬െ4
݂௫ (‫ݔ‬, ‫ = )ݕ‬4‫ ݕ‬െ 4‫ = ݔ‬0
; ο= 48‫ ݕ‬ଶ െ 16
֜ (0,0); (1,1) ݁ (െ1, െ1) ;
ଷ
݂௬ (‫ݔ‬, ‫ = )ݕ‬4‫ ݔ‬െ 4‫ = ݕ‬0
݂௬௫ (‫ݔ‬, ‫ = )ݕ‬4 ݂௬௬ (‫ݔ‬, ‫ = )ݕ‬െ12‫ ݕ‬ଶ
Para (0,0) ο< 0, logo, (0,0) é ponto de sela.
Para(1,1) ο> 0 e ݂௫௫ + ݂௬௬ < 0, logo é máximo local. Para (-1,-1) ο> 0 e ݂௫௫ + ݂௬௬ < 0, logo é máximo local

Letra b) Todas estão erradas.

4º) Se ‫ = ݔ‬2‫ ݎ‬െ ‫ ݏ‬e ‫ ݎ = ݕ‬+ 2‫ݏ‬, então o valor da

డమ ௎

డ௬డ௫

em termos de derivadas, com respeito a ‫ ݎ‬e ‫ݏ‬,

assumindo que ܷ tem derivadas parciais segundas contínuas, é:

Como ‫ = ݔ‬2‫ ݎ‬െ ‫ ݏ‬e ‫ ݎ = ݕ‬+ 2‫ݏ‬, temos ‫( = ݎ‬2‫ ݔ‬+ ‫)ݕ‬/5 e ‫( = ݏ‬2‫ ݕ‬െ ‫)ݔ‬/5. Logo

Daí,
డ௎
డ௫

=

డ௎ డ௥

డ௥ డ௫

Logo,
డమ ௎

డ௬డ௫

=

డ

డ௬

Letra c)

+

డ௎ డ௦

డ௦ డ௫

డ௎

ቀ ቁ=
డ௫

=

ଶ డ௎

డ

ଶ డ௎

ହ డ௥

ቀ

డ௥ ହ డ௥

డమ ௎

ଵ
ቀ2 మ
ଶହ
డ௥

+3

ଵ