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N MÁXIMOS E MÍNIMOS R

DerivadasParciais.odt

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OTIMIZAÇÃO
Cap3. Otmização: Extremos locais e globais 1. Extremos Locais. 2. Extremos globais: otimização sem vínculos. 3. Otimização com vínculos: multiplicadores de Lagrange. Teorema do Valor Extremo. Se f(x,y) for contínua em um conjunto fechado e limitado R, então f tem ambas máximo e mínimo absolutos em R. Ponto crítico: O ponto (a,b) no qual fx(a,b)=0 e fy(a,b)=0 Se as derivadas parciais de primeira ordem de f são definidas em todos os pontos de uma região do plano xy, então, todos os pontos extremos relativos de f na região podem ocorrer somente nos pontos críticos.

MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS Método da Substituição Tal método consiste em substituir x (ou y) obtido da equação de restrição r(x,y)=0, na função objetivo f. Obtém-se, desta forma, uma função de uma única variável, e o problema se reduz à determinação de máximos e mínimos de funções de uma variável. Obs. Ver exr1 da secção otimização c/vínculo. A Idéia dos Multiplicadores de Lagrange. Para entendermos a idéia dos multiplicadores de Lagrange, vamos supor que temos o problema de determinar a menor distância entre uma dada superfície e a origem. Podemos imaginar uma esfera centrada na origem e que vai crescendo, como se fosse uma bolha de sabão, até que toque a superfície. Nos dois pontos de contato (um de cada superfície), a esfera e a superfície possuem os mesmos planos tangentes e retas normais. Portanto os seus gradientes nestes pontos devem ser vetores paralelos.

Teste da derivada segunda Suponha que f seja uma função de duas variáveis x e y, e que todas as derivadas parciais de Método de multiplicadores de Lagrange: segunda ordem de f sejam contínuas. Suponha que f(x,y) e g(x,y) sejam funções cujas derivadas de primeira ordem existam. Para encontrar Seja: D = fxx fyy – (fxy)2 o máximo e o mínimo relativos de f(x,y), com a função e suponha que (a,b) seja um ponto crítico de f. sujeita à restrição g(x,y)=c,