Progressão geométrica

Progressão geométrica (PG)
Fórmula da seqüência numérica
Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Assim como a progressão aritmética, a progressão geométrica (PG) é uma maneira de estabelecer uma seqüência de números. Neste caso, no entanto, em vez de uma soma como elemento constante, temos uma múltiplicação.

Imagine uma progressão em que a lei de formação seja a multiplicação do termo anterior por um número. A progressão com esta lei de formação chama-se Progressão Geométrica ou P.G.. Exemplo:

(2,4,8,16,32,64,...)

O quociente entre dois números consecutivos é igual a 2.

Fórmula da PG: do enésimo termo
Pela definição de PG, a fórmula de um termo é:

Logo pode-se deduzir que para um termo qualquer :

(*)

Fórmula da soma de um a P.G.
Como não temos o gênio de Gauss, que descobriu a fórmula das Progressões Aritméticas num estalo, a dedução da fórmula da soma de uma P.G. é um pouco mais trabalhosa.

Em uma P.G. a soma dos n primeiros termos será:

(**)

Multiplicando-se os dois termos por q tem-se:

Como

Tem-se

(***)

Fazendo (**) menos (***) obtemos:

Como de (*)

Logo:

para (pois é óbvio que com q = 1 não existe P.G.)
Uma curiosidade:
Conta a lenda que o inventor do jogo de xadrez foi agraciado pelo rei por sua invenção com um pedido. O inventor pediu pouca coisa:

1 grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro de xadrez,
2 grãos pela segunda casa,
4 grãos pela terceira casa,
8 grãos pela quarta casa e assim sucessivamente até a 64º do tabuleiro.

Será que ele pediu pouca coisa?

O resultado é nada menos que18.446.744.073.709.551.615 grãos... ou seja, dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinqüenta e um mil, seiscentos e quinze grãos. Que tal?
*Carlos Alberto Campagner é engenheiro