Problema de otimização

Apresentação do problema

Certa empresa fabrica dois produtos, bolas de futebol (P1) e bolas de vôlei (P2). O lucro por unidade de P1 é de R$100,00 e o lucro unitário de P2 é de R$150,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.

O foco principal do problema está em tentar otimizar o uso do tempo disponível para produção e obter a máxima renda possível, baseado nos valores apresentados no problema. Trata-se de uma fabrica que confecciona bolas limitadas pela demanda e tempo de produção.

Definição das variáveis de decisão

x1 – número de bolas de futebol x2 – número de bolas de vôlei x3 – variável de folga x4 – variável de folga x5 – variável de folga

Função objetivo

Z = 100*x1+150*x2 Restrições

2*x1 + 3*x2 ≤120 x1 ≤40 x2 ≤30 x1, x2 ≥0

Resolução do Problema
Solução Analítica:

Variáveis de folga:

2x1+3x2+x3=120 x1+x4=40 x2+x5=30

x3 = 120 – 2x1 – 3x2 x4= 40-x1

Para x1 e x2 = 0:
1ª solução: x3 = 120 x5 = 30 x4 = 40 Z = 0

Aumentar Z aumentando x2:
Com quem x2 irá trocar?

x3≤120-3x2 x3≥ 0

x5≤ 30-x2 x5≥ 0

x2 ≤ 40 e x2 ≤ 30

Logo, x2 irá trocar com x5

x2 = 30-x5

x4= 40-x1 x3 = 30+3x5-2x1

Z = 4500+100x1-150x5

Para x1 e x5 = 0
2ª Solução:

x2 = 30 x3 = 30 x4 = 40
Z = 4500

Aumentar Z aumentando x1:
Com quem x1 irá trocar?

x4≤40-x1 x4 ≥ 0

x3≤30-2x1 x3 ≥ 0

x4 ≤ 40 e x2 ≤ 15

Logo, x1 irá trocar com x3

x1 = 15+3x52 –x32

x2 = 30-x5

x4 = 25-3x52+x32

Z = 6000-50x3

Para x3 e x5 = 0
Solução ótima:

x1 = 15 x2 = 30 x4 = 25
Z =